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1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -2009 年湖南省高中数学竞赛 A 卷试题一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1、设 z是复数， ()az表示满足 1nz的最小正整数 n，则对虚数单位 i， ()a（ C）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【解析】 ()i1n，则最小正整数 为 4，选 C.2、函数 的定义域为 R，若 与 都是奇函数，则( C)fx(1)fx)f(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 ()(C) 是奇函数 (D) 是偶函数3fx(3)fx112224,3313f
2、fttf ftftxTfxffxfx为 奇 函 数为 奇 函 数为 奇 函 数3、在区间 上随机取一个数 ， 的值介于 到 之间的概率为( A ).1,cos202A. B. C. D. 23【解析】:在区间 上随机取一个数 ,即 时,要使 的值介于 到 之间,x1cosx021需使 或 或 ，区间长度为 ，由几何23x2233概型知 的值介于 到 之间的概率为 .故选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m cos0114、 222 39150A7BC14D6fxRfxfxf设 为 ， 且 对 任 意 实 数 有， 则 的 值 为 （ ）高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资
3、源网- 2 -2 222105354013302101205495133201546xxffff分 析 ：5、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11 2091,40368403678403682436nnnaaABCD已 知 数 列 满 足 =， a+则 =1 209,8nnn分 析 ： 两 边 加 得6、 AABC1BC AB2ACD已 知 非 零 向 量 与 满 足 且 ， 则 为三 边 均 不 相 等 的 三 角 形 ， 直 角 三 角 形 ， 等 腰 非 等 边 三 角 形 ， 等 边 三 角 形 。BABC1C0ABBA23 分 析 ： 为 等 腰 三 角 形 ， 。二、选择题
4、（本大题共 8 个小题，每小题 7 分，满分 56 分，请将正确的答案填在横线上。 ）7、 15941414, _.nnnN 对 于 41212.nn8、 ABCDADC0在 三 角 形 中 ， 是 边 的 中 点 ， 若 ， 则 ta-cot的 最 小 值 为 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2cos,in0,2isisincos311coin32sinco3,in.41ADByky y分 析 ： 以 所 在 的 直 线 为 x轴 ， 的 垂 直 平 分 线 为 y轴 建 立 直 角 坐 标 系 。不 妨 设 ta-t+t=高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3
5、 -9、 1246nn 位位 位计 算 ： 。 1148967nn 位 位 位 10、 3,1,Rlogmxx已 知 函 数 f=在 实 数 集 上 单 调 递 增 ， 则 实 数 m的 取 值 范 围 是 。1133li2li0,0,.22xxffm 分 析 ：11、 24yb以 双 曲 线 的 离 心 率 为 半 径 ， 右 焦 点 为 圆 心 的 圆 与 双 曲 线的 渐 近 线 相 切 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 。243.cbbeea分 析 ： 由 双 曲 线 的 示 意 图 可 知12、 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2233xx方 程 +=1的 所 有 实
6、数 根 之 和 为 。 2222222222 197431316535119774 410331xxxxxxxx 分 析 ： 分 段 讨 论 知 舍 去 各 根 之 和 为 13、 2 201121nnn x 已 知 多 项 式 +=b+bx,且 b=0， 则 正 整 数 的 一 个 可 能 值 是 。3,9.分 析 ：14、 1 1ABCDABCDMNMN正 方 体 的 面 、 的 中 心 分 别 为 、 ， 则异 面 直 线 和 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 。3三、解答题（本大题共 5 个小题，满分 64 分）高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -15、 （
7、本小题满分 12 分）2,1, 1,axbxtxb已 知 向 量 =， 若 函 数 f=a在 区 间 上 是单 调 增 函 数 ， 求 t的 取 值 范 围 。232/2301,1,5.ttxxtt t分 析 ： f在 上 恒 成 立 ，在 上 恒 成 立 ，16、 （本小题满分 12 分）123412233441ABCDsinsisinsisinsin.如 图 ， 圆 内 接 四 边 形 的 一 条 对 角 线 将 一 对 对 角 分 成 四 个 角 、 、 、 。求 证 ：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22 2.4. 0ABCDAB分 析 ： 由 正 弦 定 理 知 只 要 证
8、：由 托 列 密 定 理 知 =+,只 要 证 ：ABCD+此 式 成 立 。 故 原 式 成 立 。432 1ACBD17、 （本小题满分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21110210 01,1niiiiinn nijijaa如 果 一 个 数 列 的 任 意 相 邻 三 项 ,满 足 a， 则 称 该 数 列 为“对 数 性 凸 数 列 ”， 设 正 项 数 列 是 “对 数 性 凸 数 列 ”， 求 证 ：高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -0112101122 20122 2110121012 0nn nnnnnnnnaaaanaaaaa
9、 分 析 ： 22120201 1202012131 012221000 1,nnnnniii nnnnn naaaa 左 边 a故 原 式 成 立 。18、 （本小题满分 14 分）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为 3 米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为 1 米，长为 7 米，试问：该设备能否水平移进直角型过道？（AB7 米，BC1 米）3m3mMODCAB3m3mFCDOMAB PQ分析：如图，建立直角坐标系。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2max22
10、2AB1,49,OMCDF7OFM3BP,sin1,749, 773563OF 2.14FyabAQbayCDxybtababttt设 的 方 程 为 设 直 线 交 于 ，只 要 判 断 。 的 方 程 为 ：设 t=不 能 通 过 。19、 （本小题满分 14 分）设有 2009 个人站成一排，从第一名开始 1 至 3 报数，凡报到 3 的就退出队伍，其余的向前靠拢站成新的一排，再按此规则继续进行，直到第 p 次报数后只剩下 3 人为止，试问最后剩下 3 人最初在什么位置？分析:易知最后剩下的 3 人中前 2 人分别为最初的第 1 名和第 2 名。设第 3 人是最初的第 k 名。用下面的方法可得 k1600 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 209614068945698368753021247,121584618897 p每 次 减 去 该 数 的 三 分 之 一 的 整 数 部 分 ： ，从 后 开 始 每 次 加 上 前 次 被 删 去 的 个 数 。41263940402031572373569.k
