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1、第三章 平均数、标准差与变异系数,第一节 平均数,平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有： 算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean）,一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 (一)直接法 主要用于样本含量n30以下、未经分组资料平均数的计算。,设某一资料包含n个观测值： x1、x2、xn，
2、 则样本平均数可通过下式计算： 其中，为总和符号； 表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确时，可简写为x，（3-1）式可改写为：,【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均数。 由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10,得： 即10头种公牛平均体重为528.5 kg。 （二）加权法 对于样本含量 n30 以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：,式中： 第
3、i组的组中值； 第i组的次数； 分组数 第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。 【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。,表31 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表,利用（32）式得： 即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。 计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。,【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500头，其平均体重为750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725
4、 kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？ 此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即,即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。 （三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。 或简写成,2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常数a ） 或简写为： 几何平均数调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。,第二节 标准差,一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本
5、资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。,全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。,为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（ ） ，称为离均差。 虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之和 为零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和（ ）来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。,为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即| |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝对离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统计学中未被采用。,
