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1、事件的独立性与独立试验概型,解,一、事件的独立性引例,一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概率。,例,A=第一次摸到黑球，B=第二次摸到黑球,则,设、为任意两个随机事件，如果 （）（） 即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件对于事件独立,显然，对于独立，则对于也独立，故称与相互独立,事件的独立性 independence,定义,事件的独立性 判别,事件与事件独立的充分必要条件是,证明,实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断,如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以 认为相互之间没有影响，
2、即可以认为相互独立,例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩， B=一个家庭中最多有一个女孩，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。,解 情形（1）的样本空间为,=（男男），（男女），（女男），（女女）,此种情形下，事件A、B是不独立的。,例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A=一个家庭中有男孩、又有女孩， B=一个家庭中最多有一个女孩，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。,解 情形（2）的样本空间为,=（男男男），（男男女
3、），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）,此种情形下，事件A、B是独立的。,直觉未必可信 必须深入研究,定理 下列四组事件，有相同的独立性：,证明 若A、B独立，则,所以， 独立。,概念辨析,事件与事件独立,事件与事件互不相容,事件与事件为对立事件,例,甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标被击中的概率。,解 设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”,则,如果事件A，B，C满足,P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=
4、P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立。,注意,事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之不一定。,有限多个事件的独立性,例,设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每 一个四面体标有号码1，2，3，4。令 A=第一个四面体的触地面为偶数 B=第二个四面体的触地面为奇数 C=两个四面体的触地面同时为奇数，或者同时为偶数 试讨论A、B、C的相互独立性。,A=第一个为偶数；B=第二个为奇数 C=两个同时为奇数，或者同时为偶数,解 试验的样本空间为,所以，A、B、C 两两独立，但
5、总 起来讲不独立。,定义,共有（2n-n-1）个等式,对满足相互独立的多个事件，有,例 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5% ，假设各道工序是互不影响的求加工出来的零件的次品率,解,设1 ，2 ，3 分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：1 ,2 ,3 相互独立，且,（1）2 % , （2）1% , （3）5%,又设表示加工出来的零件是次品, 则 A123,方法 （用对立事件的概率关系）,1(1 0.02)(1 0.01)(1 0.05), 0.0783,好！,将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.,设随机试
6、验E只有两种可能的结果:A及 ,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials).,贝努利试验,Bernoulli trials,相互独立的试验,贝努利试验,例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个， 连取 4 次求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率,设 恰好有 2 次取到次品, 取到次品，,则 取到正品,分析,n = 4 的 Bernoulli 试验,i=第i次抽样抽到次品,因为1，2，3，4 相互独立，所以,四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有,贝努利定理,设
7、在一次试验中事件发生的概率为 p (0p1) ， 则在n次贝努里试验中恰好发生 k次的概率为,( k 0，1，2，.，n ),其中,定理,二项概率,例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子, (1) 求恰有粒出苗的概率(0k4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率,(1) 该试验为4 重贝努利试验,解,(2) 设表示至少有2粒出苗的事件,则,例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好命中3次的概率。,解 该试验为5重贝努利试验，且,所求概率为,n=5,p=0.7;q=0.3;k=3,例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时
8、，求在使用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。,解 设A表示“元件使用1000小时不坏”，则,设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则,例 一批种子的发芽率为80%，试问每穴至少播种几粒种子，才能保证99%以上的穴不空苗。,分析：“穴不空苗”即“至少有一颗种子发芽”,解 假设播n颗种子，则依题意可得,可解得,即,所以，每个穴中宜种3颗种子。,例题选讲,练一练,求下列事件,解,练一练,用x, y, z 表示下列事件的概率：,解,3， 一列火车共有 n 节车厢，有 k（kn）个 旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢 内至少有一个旅客的概率。,解 基本事件总数为,设“每一节车厢内至少有一
9、个旅客”为事件A，则,几何概型的计算：蒲丰投针问题,设平面上画着一些有相等距离2a（a0）的平行线， 向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（la）的针，求 针与直线相交的概率。,解 设针的中点离较近直线的距离 为d，针与较近直线的交角为。,则d与的可取值为,0da , 0,所求概率为,将线段AB任意分成三段AC、CD、DB，试求这 三段可构成三角形的概率。,讨论,解 如图，设AB长为1，AC长为x，CD长为y，则 DB长为1-x-y,于是x，y应满足,设A表示“三段可构成三角形”,则A发生的充分必要条件是,所以，所求概率为0.25,发报台分别以概率 0.6 和 0.4发出信号“ ” 和“ ”，由
10、于通信系统受到干扰，当发出信 号“ ”时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收 到信号 “ ”和“ ”，同样，当发报台发 出信号“ ”时，收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ ”和“ ”求 (1) 收报台收到信号“ ”的概率 (2） 当收报台收到信号“ ”时，发报台确系 发出信号“ ”的概率（P26练习24）,讨论,设“发出信号.”为事件A，“接收信号.”为B,则,爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是 否携带爱滋病病毒.设这种试验的假阴性比例为5% （即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴 性），假阳性比例为1%（即在不携带病毒的人中， 有1%的试验结果为阳性）.据统
11、计人群中携带病毒 者约占1，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该 人携带爱滋病毒的概率.（P27练习33）,讨论,（贝叶斯公式）,符号引入：“携带病毒”为A，“实验呈阳性”为B，则,求,2， 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。 在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原 盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第 二次取出的三个球均为新球的概率。,解 设第一次取出的球为“3新”、“2新1旧”、“1新2旧” “3旧”分别为事件A1、A2、A3、A4；“第二次取 出三个新球”为事件B，则,某工人照看三台机床，一个小时内1号，2号，3号机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1）没有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要照看的概率；3）至多有一台需要照看的概率。,解 设Ai表示“第i台机床需要照看”，（i=1，2，3）,则 P（A1）=0.3； P（A2）=0.2； P（A3）=0.1；,
