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1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 过点且与直线垂直的平面方程是_x-3y-z+4=0_.(2) 设为非零常数,则=_.(3) 设函数 则=_1_.(4) 积分的值等于_.(5) 已知向量组,则该向量的秩是_2_.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1) 设是连续函数,且,则等于 ( A )(A) (B) (C) (D) (2) 已知函数具有任意阶导数,且,则当为大于2的正整数时, 的阶导数是 ( A )(A) (B) (C) (D) (3) 设为常数,则级数 ( C ) (A) 绝对收敛 (B) 条件
2、收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与的取值有关 (4) 已知在的某个领域内连续,且,则在点处 ( D )(A) 不可导 (B) 可导,且 (C) 取得极大值 (D) 取得极小值 (5) 已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解,、是对应齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是( B )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求 .解：(2) 设,其中具有连续的二阶偏导数,求.解：(3) 求微分方程的通解(一般解).解：特征方程为的跟为.对应齐次方程的通解为，其中为任意常数.设原方程的特解为代入原方程得.因此，原方程的通解为四、(本题满
3、分6分.)求幂级数的收敛域,并求其和函数.解：因为所以显然幂级数在时发散，故此幂级数的收敛域为又 五、(本题满分8分)求曲面积分其中是球面外侧在的部分.解：令其法向量与z轴的负向相同.设S和S1所围成的区域为，则由奥-高公式有而所以六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且.证明在内至少存在一点,使得.证：因且不恒为常数，故至少存在一点，使得于是或现设，则在上因满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点，使得对于情形，类似地可证得此结果.七、(本题满分6分)设四阶矩阵,且矩阵满足关系式,其中为四阶单位矩阵,表示的逆矩阵,表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.解：因
4、故因此八、(本题满分8分)求一个正交变换,化二次型为标准形.解：二次型的矩阵A =，由 A的特征值为对于从而可取特征向量及与P1正交的另一特征向量对于取特征向量将上述相互正交的特征向量单位化，得故在正交变换下，二次型.九、(本题满分8分)质点沿着以为直径的半圆周,从点运动到点的过程中受变力作用(见图).的大小等于点与原点之间的距离,其方向垂直于线段且与轴正向的夹角小于,求变力对质点所作的功.解：由题意，变力F=-yi+xj.圆弧AB的参数方程是变力F所作的功十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机变量的概率密度函数,则的概率分布函数_.(2) 设随机事件、及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若表示的对立事件,那么积事件的概率_0.3_.(3) 已知离散型随机变量服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即,则随机变量的数学期望_4_.十一、(本题满分6分.)设二维随机变量在区域内服从均匀分布,求关于的边缘概率密度函数及随机变量的方差.解：的联合概率密度函数是因此X的边缘概率密度函数是 6
