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1、6 实对称矩阵的标准形,在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同,于一个对角矩阵，即存在可逆矩阵C使,成对角形.,现在利用欧氏空间和特征值与特征向量,理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强为：,对于任意一个n级实对称矩阵A，,都存在一个 n,即正交矩阵T，使,成对角形，显然这个对角形不仅与A是合同的，而且,与A是相似的.,引理1,设A是实对称矩阵，则A的特征值全为实数.,证明：设,是 A的特征值，于是有非零向量,使得,令,其中,为,的共轭复数，则,考察等式,A对称,A是实的,又因为,是非零向量，,故,从而,即,是一个实数.,对应于实对称矩阵A，在n维欧氏空间Rn上定义,一个线性变换A 如下
2、：,显然A 在标准正交基,下的矩阵就是 A.,引理2,设A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意的,有,或,证明：,A对称,是一个实数，视为一个11的矩阵,设A为欧氏空间V上的线性变换，若对于任意,都有,则称为A为对称变换，或自伴随变换.,定义12,引理3,设A 是对称变换，V1是A的不变子空间，则,也是A 的不变子空间.,证明：,任取,要证,即要证,对于任意的,都有,故,因此，,即,也是A 的不变子空间.,引理3,设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值,的特征向量必正交.,证明：,设,是A的两个不同的特征值，,分,别是属于,的特征向量，即,定义Rn中线性变换 A：A xAx，xRn.
3、,于是,由于,有,因为,所以,即,正交.,定理7,对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级,正交矩阵T，使得,成对角形.,证明：由实对称阵和对称变换的关系，只要证明,明对称变换A有n个特征向量做成的标准正交基即可.,对空间的维数n作归纳法.,n = 1时，显然定理的结论成立.,设 n1时定理的结论成立.对n维欧氏空间Rn，,线性变换A有一特征向量,其特征值为实数,将,单位化，还用,代表它.,作,的正交,补，设为V1.,由引理3，V1是A 的不变子空间，其维数为n1.,又 A |V1显然也是对称变换，,由归纳假设，,A |V1有n1,个特征向量,作为V1的标准正交基.,从而,是Rn的标准正交
4、基，又是A的n,个特征向量.,定理得证.,定理7中正交矩阵T 的求法,在定理的证明过程中我们利用矩阵A在Rn中定义,了一个线性变换 A，求正交变换T的问题就相当于在,Rn中求一组由A 的特征向量构成的标准正交基.,事实上，设,是Rn的一组标准正交基，它们都是A的特征向量.,显然，由,到,的过渡矩阵就,是,T 就是一个正交矩阵，且,成对角形.,正交矩阵T 的计算步骤,1.求出A的特征值.,设,是A的全部不同,的特征值.,2.对于每个,解齐次线性方程组,求出一个基础解系，这就是A 的特征子空间,的一,组基：,再作Schimidt正交化得,它就是,一组标准正交基.,3.因为,两两不同，所以将它们各自
5、的标,准正交基合并起来,即得Rn的一组标准正交基.,也是A的特征向量.,4.最后按顺序将3中所求的特征向量排成正交矩,阵T，则,例 已知,求一正交矩阵T使得,成对角形.,解：先求A的特征值.由,即得A的特征值为1（三重），3.,其次，求属于特征值1的特征向量.,为此考虑线,性方程组,即,求得基础解系为,把它正交化，得,再单位化，得,这就是属于三重特征,值 1 的三个标准正交,的特征向量.,再求属于3的特征向量.,为此考虑齐次线性方,程组,即,求得基础解系为,将它单位化得,特征向量,构成R4的一组标准正交基，所求,的正交矩阵为,而,注 上例中可进一步要求| T |=1，基即要求正交矩,阵T是第一
6、类的.,事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为1，,则取,于是T1TS是正交矩阵，且,注2 如果线性替换,的矩阵C=(cij)是正交的，则它就称为正交的线性替换.,正交的线性替换显然是非退化的.,定理7的二次型语言描述,定理8,任意一个实二次型,都可以经过正交的线性替换变成平方和,其中平方项的系数,就是矩阵A的特征多项,式全部的根.,正交变换（正交矩阵）的几何应用,二次曲面的分类,在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是,令,则上述方程可写成,经过转轴，坐标变换公式,或者,其中C为正交矩阵且| C |=1.,在新坐标系中，曲面的方,程就是,由定理7及注可知，存在行列式为1的正交矩阵C使,即可以作一转轴，使曲面在新坐标系下的方程为,其中,此时，再按照,是否为零的情况，作适当的移,轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.,例如：,全不为零.,作移轴,此时曲面的方程为,其中,
