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1、1,第三章 微分中值定理与 导数的应用,理学院数学系 主讲 王全迪,2,第六讲 微分中值定理与 导数的应用,习 题 课,教学要求,典型例题,3,一、教学要求,1. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange),2. 理解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.,3. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数,定理.,的单调性和求极值的方法.,4,5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.,6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和,曲率半径.,4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.,会描绘函数的图形(包括水平,
2、铅直和斜渐近线).,5,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,6,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(3) 证明恒等式或不等式,(4) 证明有关中值问题的结论,(2) 证明方程根的存在性,7,利用逆向思维,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用,若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法,(1),可用原函数法找辅助函数.,(2),柯西中值定理.,中值定理.,(3),(4),有时也可考虑,多考虑用泰勒公式,设辅助函数.,多用罗尔定
3、理,必须多次应用,对导数用中值定理.,8,(1) 研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,(2) 解决最值问题,目标函数的建立,最值的判别问题,(3)其他应用:,求不定式极限;,几何应用;,相关变化率;,证明不等式;,研究方程实根等.,4.导数应用,9,二、典型例题,在,内可导,且,证明,在,内有界.,证,再取异于,的点,在以,为端点的区间上用,定数,对任意,即证.,例,取点,拉氏定理,10,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,问题转化为证,设辅助函数,用罗尔定理,使,即有,例,证,分析,?,11,在,内可导,且,试证存在,使,上连续,在,例,欲证,f (x)在
4、a , b 上用,故有,即要证,证,又 f ( x )及,在 a , b 上用,将(1)代入(2),化简得,故有,拉氏定理,柯西定理,(1),(2),12,例,证,介值定理,上分别用,使得,拉氏定理,(1),(2),13,由(1),有,得,(1),(2),由(2),有,14,提示,设路程函数为,起始速度为0,即,终止速度为0,即,例,证,一阶泰勒公式,证明:,15,(1),(2),相减,16,记为,所以,17,例,分析,构造辅助函数F(x),则问题转化为,的零点存在问题.,证,设,设,罗尔定理,使得,因此必定有,18,且在,上,存在,并,单调递减,证明对一切,有,证,则,所以当,时,令,得,即
5、所证不等式成立.,设,例,设,19,例,解,20,例,证,法一,用单调性,设,即,由,证明不等式,21,可知,即,法二,用拉格朗日定理,设,拉格朗日定理,由,得,即,22,例,判断方程,有几个实根,并指出各个根所在的区间.,解,(1),即,设,令,得驻点,唯一的驻点,又,所以,是最小值点,最小值为,23,所以,所以,(2),自己证!,24,例,1994年考研数学二, 9分,解,设,又,且,且,其图形必与x轴有一个交点.,所以,25,得,令,所以,有极小值,所以,令,函数图形与x轴相切,函数图形与x轴无交点或有两个交点.,又,综上所述,或,则,26,例,解,奇函数,27,28,列表如下:,29,极大值,拐点,极小值,30,作图,
