《2014届湖北高考数学（理）一轮复习同步教材提能课件：12.1《坐标系》（新人教a版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届湖北高考数学（理）一轮复习同步教材提能课件：12.1《坐标系》（新人教a版）（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 坐 标 系,三年16考 高考指数:,1.直线和圆的极坐标方程是高考考查的重点； 2.极坐标方程与直角坐标方程的相互转化以及综合应用是难点； 3.高考考查极坐标方程以填空题的形式考查.,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应到点 P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称 .,伸缩变换,【即时应用】 在平面直角坐标系中，已知变换: 则 点P(3,2)经过变换后的点的坐标为_; 椭圆 经过变换后的曲线方程为_.,【解析】点P(3,2)经过变换后得到 所以点P(3,2)经过变换后的点的坐标为(1,1
2、). 由变换: 得到 代入椭圆的方程 化简，得x2+y2=1,即x2+y2=1. 答案：(1,1) x2+y2=1,2.极坐标系与点的极坐标 （1）极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做 ，自极点 O引一条射线Ox,叫做 ；再选定一个长度单位、一个角度 单位（通常取弧度）及其 （通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系. （2）点的极坐标 对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设 |OM|=（0），以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为 ，则点M可用有序数对 表示.,极点,极轴,正方向,（,）,（3）极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为（x,y），它的极坐标为（，），则其 互化公式
3、为,【即时应用】 (1)思考：若0,02,如何将点的直角坐标（-3， 4）化为极坐标？ 提示：由 得2=x2+y2=25,tan= 由于点(-3,4)在第二象限，故为钝角， 所以点(-3,4)的极坐标为点(5,),其中为钝角，且tan= .,(2)判断下列命题是否正确.（请在括号中填写“”或“”） 极坐标系中点M的极坐标是唯一的 ( ) 极坐标为（2， ）的点在第一象限 ( ) 极坐标系中，点（3， ）与点（3，- ）相同 ( ),【解析】极坐标系中的点，当0,2)时，除极点以 外，M的极坐标才是唯一的，当R时，M的极坐标不唯一， 故不正确； 点的极坐标（2， ）中，极角的终边在第二象限，极径
4、大 于0，故点在第二象限，故不正确； 极坐标系中，点（3， ）与点（3，- ）的极角的终边相 同，极径相等，两点相同，所以正确. 答案： ,3.直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程,过极点， 倾斜角为,= _(R)或=_ (R) (=_和=_ (0),过点(a,0), 与极轴垂直,_=a,+,+,cos,_=a (0),过点(a, ), 与极轴平行,sin,(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(0， 0)，且极轴到此直线的角为 ，直线l的极坐标方程为： sin(-) = .,0sin(-0),【即时应用】 判断下列命题是否正确.（请在括号中填写“”或“”） （1）过
5、极点的射线l上任意一点的极角都是 ，则射线l的极坐 标方程为= （0）. ( ) （2）过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为= (0). ( ),【解析】根据极径的意义=|OM|，可知0；若0，则 -0，规定点M（,）与点N（-,）关于极点对称， 所以可得， （1）过极点的射线l上任意一点的极角都是 ，则射线l的极坐 标方程为= （0）. 所以（1）正确. （2）过极点，倾斜角为 的直线分为两条射线OM、OM，它 们的极坐标方程为= 、= （0），所以过极点，倾 斜角为 的直线的极坐标方程为= 和= （0）（也 可以表示为= （R）.所以(2)不正确. 答案：（1） (2),4.半径为r的圆
6、的极坐标方程 （1）特殊位置的圆的极坐标方程,（0，0）,(r,0),=_ (02),r,=_,2rcos,(r,),=2rsin (0),(r, ),=-2rcos,=-2rsin (2),(r, ),（2）一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(0,0)，半径 为r，则圆的极坐标方程是2-20cos(-0)+02-r2=0.,【即时应用】 （1）极坐标方程=4sin（0，0）表示曲线的 中心的极坐标为_. （2）圆心为（2, ），半径为3的圆的极坐标方程为_.,【解析】(1)曲线=4sin，由特殊位置圆的极坐标方程得半 径为2，所以曲线的中心为(2, ). （2）圆心（2， ）的直角坐标为（
7、 ），且半径为3， 所以圆的直角坐标方程为（x+ ）2+（y- ）2 =9， 即x2+y2+2 x-2 y-5=0. 由公式 得圆的极坐标方程为 2-4cos(- )-5=0. 答案：(1)(2, ) (2)2-4cos(- )-5=0,伸缩变换 【方法点睛】 伸缩变换公式的应用 （1）平面直角坐标系中，点P（x,y)在变换 的作用下，得点P(x,y)，变换简称为伸缩变换. （2）求曲线经过伸缩变换公式变换后的曲线方程时，通常运 用“代点法”，一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐 标建立联系，这可以通过上标符号进行区分.,【例1】(1)将正弦曲线y=sinx按 变换后的函数解析 式为_；
8、(2)将圆x2+y2=1变换为椭圆 的一个伸缩变换公式为 则=_，=_.,【解题指南】设变换前的方程的曲线上任意一点的坐标为P(x,y)，变换后对应的点为P(x,y)，代入伸缩变换公式即可.,【规范解答】(1)设点P(x,y)为正弦曲线y=sinx上的任意一点， 在变换 的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)， 即 代入y=sinx得2y=sin3x， 所以y= sin3x，即y= sin3x为所求. 答案：y= sin3x,(2)将变换后的椭圆 改写为 伸缩变换为 代入上式得 与x2+y2=1比较系数得 答案：5 4,【互动探究】1.将正弦曲线y=sinx变换为曲线y=2sin3x的伸
9、缩 变换公式为_. 2.将圆x2+y2=1按照伸缩变换公式 变换后所得椭圆的焦 距为_.,【解析】(1)将变换后的曲线y=2sin3x改写为 y=sin3x,令 即得伸缩变换公式 答案：,(2)将圆x2+y2=1按伸缩变换公式 变换后所得椭圆的 方程为 即 a2=25,b2=9, c2=a2-b2=25-9=16. c=4,2c=8. 即所得椭圆的焦距为8. 答案：8,【反思感悟】1.曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐 标的伸缩变换实现的,解题时需要区分变换前的点P的坐标(x,y) 与变换后的点P的坐标(x,y),再利用伸缩变换公式 建立联系即可. 2.已知变换后的曲线方程f(x,y)=0
10、,一般都要改写为方程f(x,y)=0，再利用换元法确定伸缩变换公式.,【变式备选】已知焦点为F1(-2,0)，F2(2,0)的椭圆与直线 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_. 【解题指南】可以将直线与椭圆的方程看为方程组，化简为一元二次方程，利用根的判别式计算，也可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程,转化为圆心到直线的距离计算.,【解析】方法一：(判别式法) 设椭圆方程为 (ab0), c=2,a2-b2=4. 由 整理，得b2( -4)2+a2y2=a2b2. (a2+3b2)y2+ +16b2-a2b2=0. 由=0，得 -4(a2+3b2)(16b2-a2b2)=0.,48b4-(
11、16a2b2-a4b2+48b4-3a2b4)=0， 即a4b2-16a2b2+3a2b4=0， a2+3b2=16. 与a2-b2=4联立方程组，解得a2=7, a= 所以椭圆的长轴长为 方法二：(伸缩变换法) 令 则椭圆 (ab0)变换为单位圆x12+y12=1,直线x+ +4=0变换为直线ax1+ +4=0, 因为直线x+ +4=0与椭圆 有且仅有一个交点，则直 线ax1+ by1+4=0与单位圆x12+ y12=1有且仅有一个交点. 由题意,得 整理得a2+3b2=16. a2-b2=4，解得a2=7, a= 椭圆的长轴长为 答案：,极坐标与直角坐标的互相转化 【方法点睛】 1.极坐标
12、与直角坐标互化公式的三个基本前提 (1)取直角坐标原点为极点； (2)x轴非负半轴为极轴； (3)规定长度单位相同,2.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(,)，根据三角函数的定义，当0时，有： (极坐标化为直角坐标公式)； (直角坐标化为极坐标公式).,【提醒】当0时,公式也成立, 因为点M(,)与点 M(-,)关于极点对称，即点M的极坐标也就是(-, +)，此时，有,【例2】(1)点的极坐标(2, )化为直角坐标为_； (2)若0，02，点的直角坐标（-2,2）化为极坐标 为_； (3)将极坐标方程=sin化为直角坐标方程的标准形式为 _； (4)将直线
13、方程x-y=0化为极坐标方程为_.,【解题指南】由公式 将极坐标化为直角坐标，由公 式 将直角坐标化为极坐标.,【规范解答】(1) 点的极坐标(2, )化为直角坐标为 答案： (2)2=x2+y2=8，tan= =-1，且角的终边过点 (-2，2)， 点的直角坐标(-2，2)化为极坐标为 答案：,(3)由极坐标方程=sin,得2=sin,化为直角坐标方程 为x2+y2=y,即 答案： (4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为cos-sin=0,即 tan=1,= (R). 答案：= (R).,【互动探究】若把本例（1）中的点的极坐标（2， )改为 (-2, ),则它化为直角坐标为_. 【解析
14、】 点的极坐标(-2, )化为直角坐标为( 1). 答案：( 1),【反思感悟】1.在把点P的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)，求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边过点(x,y)，以便正确地求出02内的角. 2.过极点的倾斜角为 的直线的极坐标方程可以表示为 = (R)，也可以表示为 (0).,【变式备选】1.极坐标系中，直角坐标为(-1, )的点的极径为 _，极角为_. 【解析】直角坐标为(-1, )的点到极点的距离为 又 且点在第二象限，得=2k+ kZ. 于是点(-1, )的极坐标为(2，2k+ )(kZ)， 所以此点的极径为2，极角为2k+ (kZ). 答案:2 2k+ (kZ),2.极坐标方程=sin-2cos所表示的曲线形状是_. 【解析】极坐标方程=sin-2cos即2=sin- 2cos,化为直角坐标方程为x2+y2=y-2x,即(x+1)2+(y- )2 = 这是在直角坐标系中，圆心坐标为(-1, ),
