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1、第4讲 直线、平面平行的判定与性质,1直线与平面平行判定定理,平面内,如果平面外的一条直线与_的一条直线平行,那么这条 直线与这个平面平行用符号可表示为 a,b,aba.,2平面与平面平行判定定理,相交,如果一个平面内的两条_直线与另一个平面平行,那么这两,个平面平行用符号可表示为:,a,b,abP, a,b,.,3直线与平面平行性质定理,相交线,一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平 a,,面的_与该直线平行用符号可表示为: a, b,ab.,4平面与平面平行性质定理,平行,如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线 _用符号可表示为,a,bab.,1下列命题中,正确
2、命题的个数是(,),A,若直线 l 上有无数个点不在平面内,则 l; 若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都平 行; 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另 一条直线也与这个平面平行; 若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没 有公共点,A1 个,B2 个 C3 个 D4 个,2已知直线 l 及三个平面,给出下列命题: 若 l,l,则; 若,则;,若 l,l,则;,若 l,l,则.,其中真命题是(,),C,A,B,C,D,3已知直线 a,b 与平面,使得的条件是(,),C,Aa,b,ab Bb,b Ca,b Da,a,4对于不重合的两个平面与,给定下列条件:,存
3、在平面,使得,都垂直于; 存在平面,使得,都平行于; 存在直线 l,直线 m,使得 lm; 存在异面直线 l,m,使得 l,l,m,m. 其中,可以判定与平行的条件有_(写出符合题意的序 号),5给出下面四个命题: 过平面外一点,作与该平面成角的直线一定有无穷多条; 一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的 交线平行; 对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与 两异面直线都平行; 对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的 角相等,其中正确的命题序号为_.,考点1,直线与平面平行的判定与性质,例1:(2011 年广东广州一模)如图 1341,在三棱柱 ABC A1B
4、1C1 中,侧棱 AA1底面 ABC,ABBC,D 为 AC 的中点, A1AAB2,BC3. (1)求证:AB1平面 BC1D; (2)求四棱锥 BAA1C1D 的体积 图 1341,解析:如图D26. (1)证明:连接B1C,设 B1C 与 BC1 相交于点O,连接OD. 四边形BCC1B1 是平行四边形, 点 O 为 B1C 的中点 D 为AC 的中点, OD 为AB1C 的中位线 ODAB1. OD平面BC1D,AB1平面 BC1D,,AB1平面BC1D.,图 D26,证明直线与平面平行,关键是在平面内找一条 直线 b,使ab,如果没有现成的平行线,应依据条件作出平行 线有中点的常作中
5、位线,【互动探究】,1(2011 年福建)如图 1342,正方体 ABCDA1B1C1D1中, AB2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF平面 AB1C, 则线段 EF 的长度等于_.,图 1342,考点2,平面与平面平行的判定与性质,例2:如图 1343,正方体 ABCDA1B1C1D1中,E在AB1 上,F 在 BD 上,且B1EBF, 求证:EF平面 BB1C1C. 图 1343,证法一用了证线面平行,先证线线平行证法二则,是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内,【互动探究】,2如图 1344,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,S是B1D1
6、的中点,E,F,G分别是BC,DC 和SC 的中点,求证:平面EFG 平面 BB1D1D.,图 1344,证明:E为中点,F为中点,EF为中位线,则EFBD, 又EF平面BB1D1D,BD平面BB1D1D, 故EF平面BB1D1D; 连接SB,同理可证EG平面BB1D1D,又EFEGE, 得平面EFG平面BB1D1D.,考点3 线面、面面平行的综合应用 例3:已知:有公共边 AB 的两个正方形 ABCD 和 ABEF 不在 同一平面内,P,Q 分别是对角线 AE,BD 上的点,且 APDQ, 求证:PQ平面 CBE.,CDAB,AEBD,PEBQ,,PKQH.四边开 PQHK 是平行四边形 P
7、QKH.,又 PQ平面 BCE,KH平面 BCE. PQ平面 BCE.,证法三:如图 1347,过 P 作 POEB,连接OQ,,则 OQADBC.平面 POQ平面BEC. 又 PQ平面 BEC,故 PQ平面 BEC.,证明线面平行,关键是在平面内找到一条直线与 已知直线平行,证法一是作三角形得到的;证法二是通过作平行 四边形得到在平面内的一条直线KH;证法三利用了面面平行的性 质定理,【互动探究】 3设 m,n 是两条不同的直线,是三个不同的平面, 给出下列四个命题: 若 m,n,则 mn; 若,m,则 m; 若 m,n,则 mn; 若,则.,其中正确命题的序号是(,),A,A和,B和,C和
8、,D和,解析:和显然正确,中m 与n 可能相交、平行或异面, 考虑长方体的顶点,与可以相交,易错、易混、易漏,21两平行平面内的任意直线不一定平行,例题:设 AB,CD 是夹在两个平行平面,之间的异面线,段, M,N 分别为AB,CD 的中点,求证:直线 MN.,证法一:设过CD 与点 A 的平面与相交于 DE, 且使 DEAC(如图1348),,ED,AC,ACED. 设P 为AE 的中点,连接 PN,PM,BE,,则 PNED.,又PN,ED,PN.同理可证 PM. PMPNP,平面 PMN平面. 又MN平面 PMN,MN.,证法二:如图1349,连接 AD,取 AD 的中点 Q, 连接
9、QM,QN,AC,BD.,Q,N 分别为 AD,CD 的中点,QNAC.,QN,AC,QN. ,QN,QN, QN.同理可证 QM.,QMQNQ,平面QMN. MN平面 QMN,MN.,【失误与防范】本题最容易出现的错误是:,AC BD,M,N分别为AB,CD的中点,则MNACBD,MN. 出错的根本原因在于错误地认为两平行平面内的两直线是平行的. 由于 AB,CD异面,显然AC,BD也异面.本题的证法较多,解题 关键是如何处理好条件:AB 和CD是两异面线段.证法一实质上是 把CD在两平行平面间沿着同一方向移到AE 位置,AB 和AE可确 定一平面,借助于平面几何知识来处理问题;证法二是借助
10、于空 间四边形的对角线AD,把AB 和CD分别放在两相交平面内来研 究.本题还可以连接CM 延长交于点R,证明MNRD 即可.,1直线与平面平行判定方法:利用定义;判定定理; 如果两个平面平行,则其中一个平面内的任一直线平行于另一个 平面,2平面与平面平行判定方法:利用定义;判定定理; 垂直于同一条直线的两个平面互相平行;两个平面同时平行于 第三个平面,那么这两个平面平行,3平面平行的判定定理与性质定理的作用,都集中在“平 行”两字上,判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平 行”;性质定理揭示了“两个平面平行的条件下可以获得什么样 的结论”,前者给出了判定两个平面平行的方法,后者给出了一
11、种判定两条直线平行的方法,1直线与平面平行的性质定理:线面平行,则线线平行要 注意线线平行的意义:一条为平面外的直线,另一条为过平面外 直线的平面与已知平面的交线对于本定理要注意避免“一条直 线平行于平面,就平行于平面内的任何一条直线”的错误,2直线与平面平行判定定理要具备三个条件:(1)直线 a 在平 面外;(2)直线 b 在平面内;(3)直线 a,b 平行三个条件缺一不可 平面与平面平行判定定理“如果一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行,那么这两个平面平行”,必须注意“相交”的条 件,3利用线面平行的判定定理时经常要作辅助线,利用线面平 行的性质定理时经常要作辅助面,无论作辅助线还是辅助面,都 得有理有据,不能随意去作,如果已知条件中出现中点的话,中 位线是首选,