《2012届高三数学苏教版一轮复习课件：2.10导数在研究函数中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届高三数学苏教版一轮复习课件：2.10导数在研究函数中的应用（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012届高三数学苏教版一轮复习课件： 2.10 导数在研究函数中的应用,1了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题,第10课时 导数在研究函数中的应用 导数在实际生活中的应用,【命题预测】 本部分是历年高考的一个热点，主要考查利用导数判断或论证函数的单调性、函数的极值或最值，在应用题中用导数求函数的最大值和最小值等，属于中高
2、档题以函数为背景，以导数为工具，在函数、不等式及解析几何等知识网络交汇点命题，已成为高考的热点问题另外，利用导数处理三次函数问题已成为新高考命题的一大亮点，而三次函数作为高次函数，在高中数学中，主要是以导数为载体进行研究的，因此，利用导数解决三次函数问题已成为高考命题的一个趋势,【应试对策】 1利用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点我们也可以根据导函数的单调性来求有关的参变量，其一般方法是将问题转化为不等式恒成立问题，同时要注
3、意分类讨论和数形结合思想的运用 2利用导数求函数极值，首先应确定函数的定义域，再求方程f(x)0的根，用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，由f(x)在方程f(x)0的根以及不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况 3函数的最值只能在极值点、不可导点或端点处取得，因此，只要将极值点、不可导点、端点处的函数值进行比较，则最大者即是最大值，最小者即是最小值,4在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数中自变量的定义区间在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不
4、符合实际意义的值应舍去 5利用导数解决实际问题，其实质就是求函数的最值，解决问题的关键是建立数学模型因此，要认真审题，分析各个量的关系列出函数式yf(x)，然后利用导数求函数f(x)的最值在实际问题中，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点,【知识拓展】 1由于函数的最值是一个整体性的概念，故函数的最值只能在极值点、不可导点或端点处取得，因此，在求闭区间a，b上连续、开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，则最大者即是最大值，最小者即是最小值，对于定义在开区间(a，b)上的可导函数，
5、如果只有一个极值点，则该极值点必为最值点 2 可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)，而f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个子区间上为增(或减)函数的充分非必要条件因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使其恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则，参数的取值范围确定,1导数值与函数单调性的关系,思考：如果函数f(x)在区间(a，b)上的每一点的导数都为0，即在(a，b)上 f(x)0恒成立，那么f(x)的图象是怎样的？ 提示：
6、函数在区间(a，b)上不是增函数也不是减函数f(x)的图象是一条与 x轴平行的线段(不包括端点),2函数的极值 (1)极大值：如果f(x1)比它附近点的函数值都要大我们称f(x1)为函数f(x)的一个极 值 (2)极小值：如果f(x2)比它附近点的函数值都要小我们称f(x2)为函数f(x)的一个极 值 函数的极大值、极小值统称为函数的 思考：函数的极大值是函数的最大值吗？函数的极小值是函数的最小值吗？ 提示：函数的极大值不一定是函数的最大值；函数的极小值也不一定是函数的最小值,极值,大,小,1(苏州市高三教学调研测试)函数yexsin x在0，上的单调递增区间是_ 解析：yex(sin xco
7、s x) ，令y0，可得sin 0， 所以x (2k，2k)，又x 0， 解得原函数的单调递增区间为 . 答案： (也可答 ),2(2010淮安市四星级高中数学学科学习能力评价测试)已知函数 f(x)xln x，则其单调递减区间为_ 解析：由f(x)0得ln x10,0x . 答案：,3若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_ 解析：f(x)3x26ax3(a2)，由题意知f(x)0有两个不等的实根，由(6a)2433(a2)0，即a2a20，解得a2或a1. 答案：(，1)(2，) 4(2010海门中学高三调研)已知可导函数f(x)(xR)的导函数f(x)满
8、足f(x)f(x)，则当a0时，f(a)和eaf(0)(e是自然对数的底数)大小关 系为_ 答案：f(a)eaf(0),5周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ 解析：设矩形一边长为x cm，则邻边长为(10x) cm，Vx2(10x)(10x2x3)(0x10) 由V(20x3x2)0得x0(舍去)，x ，可以判断当x 时， Vmax (cm3) 答案： cm3,1求函数的单调区间：由f(x)0求得的区间为函数的单调增区间；由f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数,3已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或 递减)的充要
9、条件应是f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，且f(x)在 (a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性 并不排斥在区间内个别点处有f(x)0，甚至可以在无穷多个点处f(x) 0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,【例1】 已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求 出a的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明：f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方 思路点拨：(1)求f(x)转化成恒成立问题(2)假设存在a，求
10、出a值进行检验,解：(1)由已知f(x)3x2a，f(x)在(，)上是单调增函数， f(x)3x2a0在(，)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立3x20，只需a0， 又a0时，f(x)3x20，故f(x)x31在R上是增函数，a0. (2)由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立， 得a3x2，x(1,1)恒成立1x1，3x23，只需a3. 当a3时，f(x)3(x21)，在x(1,1)上，f(x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数， a3.故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减 (3)证明：f(1)a2a，f(x)的图象不可能总在直线ya上方,变式1：已知函数f(x) x3ax(
11、aR)，求函数f(x)的单调区间 解：由已知f(x)x2a，当a0时，f(x)x2a0，则f(x)在 (，)上递增； 当a0，解得x ， 因此f (x)的递增区间是(， )，( ，)， 递减区间是( ， ),1求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3) 求方程f(x)0的根；(4)检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极 值点(最好通过列表法)如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f(x)在点x0 的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值 2可导函数极值存在的条件 (1)可导函数的极值
12、点x0一定满足f(x0)0，但当f(x0)0时，x0不一 定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数 yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧 f(x)的符号不同,【例2】 设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点 (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由 思路点拨：(1)由f(1)0，f(2)0，求a、b， (2)利用导数判断函数f(x)的单调区间，再定极大值、极小值,解：(1)f(x) 2bx1， 由已知 解之，得 (2)x变化时，f(x)，f(x)的变化情
13、况如下：,在x1处，函数f(x)取得极小值 ，在x2处，函数f(x)取得极大值 .,变式2：设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围 解：(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1 ，x2 . 当x 或x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0. f(x)的单调递增区间为(， )和( ，)；f(x)的单调递减 区间为 ， 当x 时，f(x)有极大值54 .当x 时，f(x)有极小值54 .,(2)由(1)知函数y=f(x)的图象大致形状如图所示， 当5-4 a5+4 时，直线y=a与y=f(x
14、)的图象有三个不同交点， 即方程f(x)=a有三个不同的解,1设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和 最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值 (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 2(1)根据最值的定义，求在闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值 (2)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点,【例3】 (江苏省高考命题研究专家原创卷)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3. (1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值； (2)对一切x(0，),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明对一切x(0，)，都有ln x 成立 思路点拨：(1)求出f(x)，对t进行讨论，(2)列出a的不等式，求a的取值范围转化成求函数的最值，(3)
