电路理论8正弦稳态分析

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1、正弦量的基本概念 相量法 阻抗和导纳 正弦稳态的电路的分析计算 位形相量图法及其应用 正弦稳态的电路的功率,第八章 正弦稳态分析,8.1 正弦量,8.1.1 三要素,i(t)=Imsin(w t+y),Im、w、y这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这3个量为正弦量的三要素。,(1) 振幅 (amplitude) Im,(2) 角频率(angular frequency) w,(3) 初相位(initial phase angle) y,Im ：振幅，最大值 ：角频率；反映正弦量变化快慢； ：初相反映了正弦量的计时起点 t+： （the argument of the sinusoid

2、） 相位；正弦量随时间变化的进程,T：周期，f：频率,工频：f=50Hz，=2f=314rad/s,三要素的含义,8.1.2 同频率正弦量相位关系,设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i),则 相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i, j 0， u超前(越前)i j 角，或i 落后(滞后) u j 角(u 比 i 先到达最大值)；, j 0， i超前(越前) uj 角，或u 落后(滞后) i j 角(i 比 u 先到达最大值)。,j =0， 同相：,j = (180o ) ，反相：,特例：, = p/2：u 超前

3、i p/2, 不说 u 滞后 i 3p/2； i 滞后u p/2, 不说 i 超前u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,规定： | j | (180)。,8.1.3正弦电量的有效值（ Effective Value ）,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来表示。,周期量的有效值,周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,同样，可定义电压有效值：,设 i(t)=Imsin( t+ ),正弦电流、电压的有效值,同理，可得正弦电压有效值

4、与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V， Um537V。,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,为什么用正弦量 ?,主要考虑以下几点：,1. 正弦量是最简单的周期量之一，同频正弦量在加、减、微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量；,2. 应用广泛；,3. 非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦函数。,例. 同频方波相加,8.2

5、 相量法,两个正弦量,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。,i1+i2 i3,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。,角频率： 有效值： 初相位：,i1,i2,8.2 相量法,一、复数：,1. 表示形式：,ReF ,ImF ,在电路中用j来代替i,F = a + jb,F = a + ib, 代数形式, 三角函数形式, 指数形式, 极坐标形式,2. 复数的运算：,（1）加法运算：,（2）减法运算：,（3）乘法

6、运算：,（4）乘法运算：,作图方法：首尾相连 平行四边形,旋转因子：,任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个j角,例8-1 F=F1e j j,特殊：,+j , j , -1 都可以看成旋转因子,复函数,若对A(t)取实部：,A(t)还可以写成,一、正弦量的相量表示：,8.2.1 正弦量与相量的对应关系,如为正弦函数：,在同一个电路中的正弦量形式要一致,如为余弦函数：,如函数用最大值表示：,由相量还原正弦量时要注意是有效值还是最大值,相量的几何意义,A(t)是旋转相量,其复振幅,旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数,相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：,例2.,试写出电流的瞬时值表

7、达式。,解：,已知,例1.,试用相量表示i, u .,解：,1. 同频率正弦量相加减,得：,这实际上是一种变换思想，由时域量变换到相量 “相量” 不同于“向量”,8.2.2 正弦量运算的相量方法,时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自 变量分析电路。,频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为 自变量分析电路。,相量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析, 属于频域分析。,i1 i2 = i3,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,首尾相接,（2）正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,相量微分:

8、,相量积分:,小结, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。, 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。,8.2.3 KCL、KVL的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,8.2.4 电路的相量模型,（1） 电阻,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,有效值关系： UR=RI,相位关系：u=i,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。但始终大于零， 表明电阻始终是吸收（消耗）功率。,瞬时功率：,（2）电感,i(t),uL(t),L,+,-,时域

9、形式：,相量模型,相量关系：,相量形式：,1. 相量关系：,XL=U/I= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=I/U=1/ L = 1/2fL， 感纳，单位为 S (同电导),2. 感抗和感纳:,感抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；U= XL I= LI= 2fLI,(2) 感抗和频率成正比；,相量表达式:,3. 功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负， 一周期内刚好互相抵消。,（3）电容,时域形式：,相量形式：,相量关系：,1. 相量关系：,2. 容抗：,容抗的物理意义：,(1) 表示限制电流的能力；,(2) 容抗的绝对值和频率成反比。,I=w CU,称为容抗，单

10、位为欧姆。,3. 功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有 负，一周期内刚好互相抵消。,（4）受控源：,对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。,在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用 见下节,（5）电路的相量模型 (phasor model ),时域列写微分方程,相量形式代数方程,时域电路,相量模型,相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。,（6）相量图,1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；,2. 以 角速度反时针方向旋转；,3. 选定一个参考相量(设初相位为零。),选 R为参考相量,小 结 ：,1. 求正弦稳态解是求微分方

11、程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。,2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。,3. 采用相量法后，电阻电路中所有网络定理和一般分析方法都可应用于交流电路。,8.3 阻抗与导纳,1. 复阻抗与复导纳,正弦激励下,单位：,阻抗模,阻抗角,复导纳Y,对同一二端网络:,2. R、L、C 元件的阻抗和导纳,（1）R：,（2）L：,（3）C：,单位：S,3. RLC串联电路,用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。,由KVL：,其相量关系也成立,Z 复阻抗；R电阻(阻抗的实部)；X电抗(阻抗的虚部)； |Z|复阻抗的模； 阻抗角。,关系：,或,具体

12、分析一下 R、L、C 串联电路：,Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|j,wL 1/w C ，X0， j 0，电路为感性，电压领先电流；,wL1/w C ，X0， j 0，电路为容性，电压落后电流；,wL=1/w C ，X=0， j =0，电路为电阻性，电压与电流同相。,画相量图：选电流为参考向量(wL 1/w C ),三角形UR 、UX 、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,例.,已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,求 i, uR , uL , uC .,解：,其相量模型为,则,UL=8.42U=5，分电压大于总电压。,4. RLC并联电路,由KCL：,Y 复导纳；G电

13、导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)； |Y|复导纳的模； 导纳角。,关系：,或,Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|j,w C 1/w L ，B0， j 0，电路为容性，i领先u；,w C1/w L ，B0， j 0，电路为感性，i落后u；,wC=1/w L ，B=0， j =0，电路为电阻性，i与u同相。,画相量图：选电压为参考向量(wC 1/w L，0 ),RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象,同样，若由Y变为Z，则有：,8.4 正弦稳态电路分析,电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：,可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法

14、正弦稳态的相量分析中。,同直流电路相似：,阻抗串并联的计算,列写电路的回路电流方程和节点电压方程,例1.,解：,回路法:,节点法:,例2: 已知:,解：画出电路的相量模型,求：各支路电流,瞬时值表达式为：,法一：电源变换,解：,例3.,法二：戴维南等效变换,例4.,用叠加定理计算电流,解：,例1：f=50Hz,R1=20欧。V、V1、V2的读数为100V，60V，50V。求R和C。,8.5 位形相量图及其应用,50,100,60,已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , R1=32W , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。,画 相量图进行定性分析。,例2.,

15、解：,已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , R1=32W , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。,画位形相量图进行定性分析。,例2.,解：,用相量图分析,例3.,移相桥电路。当R2由0时，,解：,当R2=0，q =-180；当R2 ，q =0。,（9-3）,给定R2求移相角,由此可求出给定电阻变化范围下的移相范围,1. 瞬时功率 (instantaneous power),瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期平均值。,8.6 正弦稳态电路的功率,无源一端口网络吸收的功率( u, i 关联), P可为正, 也可为负； p0, 电路吸收功率：p0，电路发出功率；,第一种分解方法：,第二种分解方法：,UIcos (1-cos2 t)为不可逆分量。,UIsin sin2 t为可逆分量。,2. 平均功率 (average power)P：, =u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。即 P=|Z|I2cos =RI2,cos ：功率因数。,P 的单位：W,cosj =P/(UI),一般地 , 有 0cosj1,X0, j 0 , 感性， 滞后功率因数，电流滞后电压 X0, j 0 , 容性， 超前功率因数，电流超前电压,例： cosj =0.5 (滞后)， 则j =60o (电压领先