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1、1,第七章 一阶电路,2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；,重点,3. 稳态分量、暂态分量求解；,1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；,下 页,返 回,4. 三要素法；,5. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。,2,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,特点：,1. 动态电路,7.1 动态电路的方程及其初始条件,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,例,电阻电路,下 页,上 页,返 回,过渡期为零,定性分析动态电路的过渡过程：,3,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0
2、 , uC= Us,K接通电源后一段时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电容电路,下 页,上 页,返 回,4,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,K动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态,有一过渡期,第三个稳定状态,下 页,上 页,返 回,5,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uL = 0,uL= 0, i=Us /R,K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电感电路,下 页,上 页
3、,返 回,6,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uL = ,uL= 0, i=Us /R,K断开瞬间,注意工程实际中的过电压过电流现象(P144 例7-2),下 页,上 页,返 回,7,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,下 页,上 页,返 回,8,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量：,2. 动态电路的方程,下 页,上 页,返 回,一阶电路,9,应用KVL和电感的VCR得：,若以电感电压为变量：,下 页,上 页,返 回,10,一阶电路,一阶电路中只有一个动态
4、元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；,结论：,（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；,下 页,上 页,返 回,11,（2）求解微分方程,下 页,上 页,返 回,动态电路分析的步骤,（1）根据KVL、KCL和VCR建立微分方程,12,(1) t = 0与t = 0的概念,认为换路在 t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3. 电路的初始条件,初始条件为 t = 0时刻动态元件的u ，i 及其各阶导数的值,0,0,下 页,上 页,返 回,在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,连续函数,13,t = 0+时刻,
5、当i()为有限值时,q (0+) = q (0),uC (0+) = uC (0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,(2) 电容的初始条件,电荷守恒,结论,下 页,上 页,返 回,14,当u为有限值时,L (0)= L (0),iL(0)= iL(0),(3) 电感的初始条件,t = 0+时刻,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论,下 页,上 页,返 回,15,（4）换路定则,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定则成立的条件。,注意:,换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后
6、保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,（2）换路定律反映了能量不能跃变。,下 页,上 页,返 回,16,（5）电路初始值的确定,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0)=8V,(1) 由0电路求 uC(0)或iL(0),uC(0)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),例1,t=0时，断开K求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,下 页,上 页,返 回,17,求初始值的步骤:,1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3. 画0+等效电路。,4.
7、 由0+电路求所需各变量的0+值。,b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a. 换路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,下 页,上 页,返 回,18,iL(0+)= iL(0) =2A,例 2,t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+),先求,由换路定律:,电感用电流源替代,解,电感短路,下 页,上 页,返 回,19,iL(0+) = iL(0) = IS,uC(0+) = uC(0) = RIS,uL(0+)= - RIS,求 iC(0+) , uL(0+),例3,解,由0电路得：,由0电路得：,下 页,上 页,返 回,20,例4,求K闭合后瞬间各
8、支路电流和电感电压,解,由0电路得：,由0+电路得：,下 页,上 页,返 回,21,例5,求K闭合瞬间流过它的电流值。,解,（1）确定0值,（2）给出0等效电路,下 页,上 页,返 回,22,7.2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,1. RC电路的零输入响应,已知 uC (0)=U0,特征根,则,零输入响应,下 页,上 页,返 回,23,代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0,A=U0,下 页,上 页,返 回,24,令 =RC , 称为一阶电路的时间常数,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数
9、,跃变,（2）响应与初始状态(U0/I0)成线性关系， 其衰减快慢与RC有关；,下 页,上 页,返 回,25,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = R C, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,电压初值不变：,R 大（ C不变） i=u/R 储能不变，放电电流小,C 大（R不变） W=Cu2/2 储能大,放电电流不变,物理含义,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,26, t2t1,在曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固
10、定变化率衰减，则经过时间为零值。,下 页,上 页,返 回, 几何意义,27,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,返 回,28,例1,已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,分流得：,下 页,上 页,返 回,29,例2,已知图示电路，开关S合在位置1时电路已经达到稳定状态，t=0时刻开关由位置1合向位置2，试求t0时的电流i(t)。（P146 例7-3）,解,(1) 求初始条件,uC(0+) u
11、C(0)6V,(2) 换路后电路的响应为零输入响应，其电容以外电路的等效电阻可用外施电源法求得。,Requ/i=1 ,(3) 求时间常数：,Req C0.25S,uC(t)uC(0)e-t/ 6 e-4tV,i(t)CduC/dt6 e-4tA,30,2. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值 i(0+)= I0,A= i(0+)= I0,下 页,上 页,返 回,31,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；,下 页,上 页,返 回,32,令 = L/R , 称
12、为一阶RL电路时间常数,L大 W=Li2/2 初始能量大,放电功率不变 R小 P=Ri2 初始能量不变，放电功率小, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,物理含义,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = L/R,电流初值i(0)一定：,下 页,上 页,返 回,33,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,下 页,上 页,返 回,34,iL (0+) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时 , 打开开关K，求uv。,现象 ：电压表坏了,电压表量程：50V,解,下 页,上 页,返 回,35
13、,例2,t=0时 , 开关K由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,下 页,上 页,返 回,36,小结,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性响应。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,下 页,上 页,返 回,37,动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。,列方程：,7.3 一阶电路的零状态响应,非齐次线性常微分方程,解答
14、形式为：,1. RC电路的零状态响应,零状态响应,齐次方程通解,非齐次方程特解,下 页,上 页,返 回,38,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,的通解,的特解,下 页,上 页,返 回,39,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暫态分量（自由分量）,+,下 页,上 页,返 回,40,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电 慢，小充电就快。,（3）响应与
15、外加激励成线性关系；,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,下 页,上 页,返 回,41,例1,t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t 。,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,下 页,上 页,返 回,42,例2,t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0，求t0时的uc(t)和ic(t) 。,解,(1) 换路后的电路有激励源，无初始储能，所以为零状态响应问题。,先把电容左边的一端口网络用戴维宁电路等效。,43,2. RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为：,下 页,上 页,返 回,44,电流源为激励,RL电路的零状态响应为：,45,例1,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律 。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,下 页,上 页,返 回,46,例2,t=0时 , 开关K打开，求t0时的uL(t)和电压源发出的功率 。,解,(1) 换路后的电路有激励源，无初始储能，所以为零状态响应问题。,先把电感左边的一端口网络用戴维宁电路等效。,47,7.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,解答为
