晶体结构的点阵理论

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1、第七章 晶体结构的点阵理论,教学要求: 1.理解点阵和平移群、晶体的点阵结构、结构基元、空间格 子、点阵单位、正当点阵单位、晶面指标等概念。 2.掌握14种空间点阵型式、晶胞、晶胞参数的概念和原子分 数坐标的定义。 3.掌握晶体的宏观对称元素和对称操作，七个晶系及其特征 对称元素。 4.了解32个晶体点群；了解螺旋轴、滑移面及其操作，空间 群的概念及国际符号的意义。 5.掌握Laue方程、Bragg方程；影响衍射强度的因素，结构 因子的计算；立方晶系点阵型式和系统消光的关系； 6.了解单晶衍射法；粉末多晶衍射法。,7-1晶体的点阵结构与晶体缺陷,要揭示物质组成和结构之间的关系,就涉及到原子的数

2、量、大小、原子间的结合力(键型),原子与原子间的位置关系(结构形式)等。一种物质在不同的条件下可具有不同的晶体结构（同质多晶），不同的物质也可具有相同的晶体结构（类质同晶）。,一、晶体概论 1.晶体及其特性 晶体：内部粒子（原子、分子、离子）或粒子集团在空间按一定规律周期性重复排列成的一种固体。 晶体结构的周期性：一定数量和种类的粒子（或粒子集团）在空间排列时，在一定的方向上相隔一定的距离重复出现的现象。 周期性的结构包括周期性重复的内容（结构基元）和周期性重复的方式（周期性重复的大小和方式）。,晶体中原子或基团的排列具有三维空间的周期性，它使晶体具有下列特点： （1）自发地形成多面体外形（自

3、范性） （2）均匀性 （3）各向异性 （4）有明显的熔点 此外，晶体还有对称性、对X射线的衍射等。,2.晶体的同素异构及应用示例 （1）同素异构体 由于形成材料不同，同一种原子或基团形成晶体，可能存在不同的晶体结构，此现象称为晶体的同素异构。不同的异构体在材料科学中称为不同的“相”。 （2）人工智能材料,二、晶体的点阵结构理论 X一射线衍射实验表明，晶体由在空间有规律地重复排列的微粒（原子、分子、离子）组成的，晶体中微粒有规律地重复排列晶体的周期性，不同品种的晶体内部结构不同，但内部结构在空间排列的周期性是共同的。 为研究晶体周期性结构的普遍规律,不管重复单元的具体内容,将其抽象为几何点（无质

4、量、无大小、不可区分),则晶体中重复单元在空间的周期性排列就可以用几何点在空间的排列来描述。无数个几何点在空间有规律地排列构成的图形称为点阵。构成点阵的几何点称为点阵点，简称阵点。用点阵的性质来研究晶体的几何结构的理论称为点阵理论。点阵结构中点阵点所代表的具体内容（包括原子或分子的种类和数量及在空间按一定的排列方式）称为晶体的结构基元。,平移：所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图 形复原的操作。 点阵:按连接任意两点的向量进行平移后能复原的一 组点叫点阵。 构成点阵的条件：点阵点数无穷大； 每个点阵点周围具有相同的环 境； 平移后能复原。,1、直线点阵（一维点阵） 在直线上等距离排列的点直线

5、点阵。 由聚乙炔、直线排列的等径圆球可以抽取出直线点阵。 |a| |b| |c| 沿向量 等平移都能使图形复原。 直线点阵中连接任意两相邻阵点的向量称素向量（又称基本向量）。上图中为 素向量,称为 复向量。,直线点阵中有无穷多个平移操作可使其复原，用数学语言描述则为： 对向量的加法构成一个群平移群。 此外，NaCl晶体中沿某晶棱方向排列的一列离子，石墨晶体中的一列原子均可抽取出直线点阵。,2、平面点阵 将晶体结构中某一平面上周期性重复排列的结构基元抽象成点可得平面点阵。 例如：NaCl晶体中平行于某一晶面的一层离子，石墨晶体中的一层碳原子。将平面点阵点用直线连接起来得到平面格子（P208图7.

6、3）。平面格子由一些平面四边形（平面点阵单位）无隙并置排列而成。平行四边形顶点处的点阵点被4个相邻格子所共用，每个单位分摊1/4个，棱上的点被两个格共用，每个格子分摊1/2个。,只含有1个点阵点的平面点阵单位称素单位，它是平面点阵的基本单位。含2个以上点阵点的平面点阵单位称复单位。将素单位中两个互不平行的边作为平面点阵的基本向量，两两连接所有点阵点，所得向量可用这两个基本向量表示。 将向量进行平移构成二维平移群。 平移群：,3、空间点阵（三维点阵） 所有点阵点分布在三维空间上平移群。 P208图7.4。 4、正当单位（正当格子） 对平面点阵按选择的素向量和用两组互不平行的平行线组（过点阵点，等

7、间距），把平面点阵划分成一个个的平行四边行，可得到平面格子。 由于素向量的选取有多种形式，所以一个平面点阵可得到多种平面格子。,平面格子中的每一个平行四边形称为一个单位。 四边形顶点上的阵点，对每个单位的贡献为1/4 四边形边上的阵点，对每个单位的贡献为1/2 四边形内的阵点，对每个单位的贡献为1。 只含一个阵点的单位素单位（素格子） 含有两个或两个以上阵点的单位复单位（复格子） 注意：素单位肯定是由素向量构成，但素向量不一定构成素单位。,在考虑对称性尽量高的前提下，选取含点阵点尽量少的单位正当单位（正当格子） 正当单位可以是素单位，也可以是复单位。 平面正当格子有四种类型五种形式。P209图

8、7.5（正方形、六方形、矩形、带心矩形、平行四边形） 注意：平面正当格子中只有矩形格子有素格子和复格子（带芯格子）之分，这是因为其它三种形状的格子的话，必定能取出同类形状的更小的素格子来。,为什么正方形正当格子没有带芯的？,由空间点阵按选择的向量把三维点阵划分成一个个的平行六面体，可得到空间格子，空间格子中的每个平行六面体称为空间格子的一个单位，也有素单位（素格子）、复单位（复格子）、正当单位（正当格子）之分。 空间点阵素格子的对称类型有7种，相应晶体可划分为7个晶系(三斜、单斜、正交、四方、三方、六方、立方)，复格子有体心、底心（含2个点阵点）面心（含4个点阵点），共14种点阵形式。,三、晶

9、体的微观结构点阵结构及其基本性质 凡是能抽取出点阵的结构可称为点阵结构；点阵结构可以被与它相对应的平移群所复原。 点阵：按连接任意两点所得向量进行平移后能够复原的一组点称为点阵。 1、构成点阵的两个条件 点数无限多；各点所处的环境完全相同。例：P283图9.7 点数无限多指当晶体颗粒与内部微粒相比，其直线上的差约为107倍时，可近似认为有无限多个粒子。 点阵点所处的环境相同指对于每一个点，在相同的方向上、相同的距离处都可找到点阵点。,2、如何从晶体的微观结构中抽取出点阵点。 点周围环境必须完全相同（指周围原子的种类、数目和原子分布的方向）如石墨。 3、点阵与点阵结构的关系 点阵是反映点阵结构周

10、期性的科学抽象，点阵结构是点阵理论的实践依据和具体研究对象。 点阵结构=点阵+结构基元 点阵=点阵结构-结构基元,四、晶胞、晶胞参数及原子坐标参数 1、晶胞 空间点阵是晶体结构的数学抽象，晶体具有点阵结构。空间点阵中可以划分出一个个的平行六面体一空间格子，空间格子在实际晶体中可以切出一个个平行六面体的实体，这些包括了实际内容的实体叫晶胞，晶胞是晶体结构中的基本重复单位。,晶胞一定是平行六面体，它们堆积起来能构成晶体。晶胞也有素晶胞、复晶胞和正当晶胞之分，只含一个结构基元的晶胞称为素晶胞。P209图7.6 正当晶胞:在照顾对称性的前提下，选取体积最小的晶胞为正当晶胞。正当晶胞可以是素晶胞，也可以

11、是复晶胞。,晶胞的两要素: (1)晶胞的大小和形状，（用晶胞参数表示）。 (2)晶胞所含内容，即晶胞内原子的种类、数量及位置（用原子的分数坐标表示）。 P210图7.9 图7.10,2、晶胞参数 选取晶体所对应点阵的三个素向量为晶体的坐标轴X、Y、Z，称为晶轴。 晶轴确定之后，三个素向量的大小a、b、c及这些向量之间的夹角、就确定了晶体的形状和大小, 、a、b、c为晶胞参数，且=bc，=ac，=ab。,3、原子坐标 晶胞中任一原子的位置可用向量 表示， 称为P原子的分数坐标。 CsCl晶胞，Cl-（0,0,0），Cs+ Mg晶胞，晶胞内原子（ ）， 顶点原子（0，0，0）,五、晶面与晶面指标

12、晶面 一个空间点阵中可以从不同的方向划分出一组组互相平行的平面点阵组，每一组中的各点阵面是互相平行的，且距离相等。（P211图7.11）各组平面点阵对应于实际晶体中不同方向的晶面。,（注意晶面并非专指晶体表面）,用“晶面指标”来描述这些不同方向的晶面。晶面指标是晶体在三个晶轴上的倒易截数之比。设有一平面点阵和三个坐标轴x，y，z相交，在三个坐标轴上的截长分别为ra，sb，tc，则r，s，t为晶面在三个晶轴上的截数，可反映出平面点阵的方向。若晶面和晶轴平行，则截数为无穷大，为避免出现无穷大，取截数的倒数： 1/r：1/s：1/t=h*：k*：l*（h* ，k* ，l*为互质的整数）称为晶面指标，

13、又称密勒指标。（密勒1939年建议使用）P212图7.14,一个晶面指标h* k* l*代表一组互相平行的晶面。 晶面指标的数值反映了这组晶面间的距离大小和阵点的疏密程度。晶面指标越大，晶面间距越小，晶面所对应的平面点阵上的阵点密度越小。(图7.15) 由晶面指标h* k* l* 可求出这组晶面在三个晶轴上的截数和截长 截数 截长 ra sb tc,注意：,注意！,NaCl晶体常出现立方体外形，其六个面的指标为： （100）、（010）、（001）、 明矾晶体常出现正八面体外形，其八个面的指标为： 正四面体四个面的指标分别为：,六、晶面间距d（hkl） 一组晶面指标为（hkl）的平面点阵中，相

14、邻两个平面点阵间的垂直距离用d（hkl）表示，称为晶面间距。不同的晶系用不同的公式计算。 立方晶系： 六方晶系： 正交晶系： 平面间距既与晶面参数有关，又与平面指标h，k，l有关。h，k，l越小，晶面间距越大，实际晶体外形中这个晶面出现的机会也越大。每种晶体对应于一个特定的空间点阵,求出不同方向上的d（hkl）值的全体,是晶体结构特定的数值组,是晶相鉴定的依据.,六、几个计算公式 1、两原子间距离（键长） p1-p2=|p1p2|=|(x2-x1)a+(y2-y1)b+(z2-z1)c| 当 时： 2、晶面夹角 当a=b=c, 时： 3、晶面间距 当a=b=c, 时：,六、晶体结构与点阵结构的

15、关系 点阵是反映晶体结构周期性的科学抽象。 晶体则是点阵理论的实践依据和晶体研究对象。 点阵是反映晶体结构周期性的几何形式。 平移群是反映晶体结构周期性的代数形式。 点阵和晶体的对应关系： 空间点阵 阵点 直线点阵 平面点阵 晶体 结构基元 晶棱 晶面 素单位 复单位 正当单位 素晶胞 复晶胞 正当晶胞,7-2 实际晶体,一、理想晶体与实际晶体 按照点阵式的周期性在空间无限伸展的晶体是理想晶体。 实际晶体并不是理想的、完整的、无限的理想结构，往往从 以下几个方面偏离理想晶体。 实际晶体中的微粒总是有限的。处于边上的微粒不能通过 平移与其它微粒重合，其所受力等情况也不同于内部微粒， 晶体中的微粒

16、并不是静止不动的，而是在平衡位置附近不 停地振动。 实际晶体中多少都存在一定的缺陷。晶体的缺陷指偏离理 想的点阵结构情况。 晶体的缺陷按几何形式可分为点缺陷、线缺陷、面缺陷、体 缺陷等。点缺陷包括空位、杂质原子、间隙原子、错位原 子、变价原子等。P213图7.16、7.17,二、单晶体、多晶体与微晶体 若一块固体基本上为一个空间点阵所贯穿,称为单晶体。 若一块晶体由两个或几个单晶按不同取向结合而成，称为双晶体（孪晶体）。 由许多小的单晶体不同地取向聚集而成的固体称为多晶体。金属材料及许多粉末物质由多晶体组成。 有些固体结构重复的周期很少，只有几个到几十个周期，称微晶。它介于晶体与非晶体之间，如