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1、第四节 空间向量,1空间向量及其加减与数乘运算 在空间，具有大小和方向的量叫做向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量，空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量对应运算的推广,空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律 加法交换律：ab . 加法结合律：(ab)c . 数乘分配律：(ab) .,ba,a(bc),ab,2共线向量与共面向量 如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使 . 共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量
2、a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p .,ab,xayb,3空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p . 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，,xaybzc,4两个向量的数量积 向量a、b的数量积ab . 向量的数量积的性质： ae . ab ； |a|2 . 向量的数量积满足如下运算律： (a)b ； ab (交换律)； a(bc) (分配律),|a|b|cosa，b,|a|cosa，e,ab0,aa,(ab),ba,abac,5向量的直角坐标运算 设a(x1
3、，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么 ab ； ab ； ab ； ab ； ab(b0) .,(x1x2，y1y2，z1z2),(x1x2，y1y2，z1z2),x1x2y1y2z1z2,x1x2y1y2z1z20,x1x2，y1y2，z1z2,6夹角和距离公式,7平面的法向量 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量a垂直于平面，记作a.如果a，那么向量a叫做平面的法向量,1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心，P是A1B1上的任意一点，则直线AM与OP所成角是 ( ),解析：设正方体的棱长为2a，建立如图2所示
4、的空间坐标系，则有A(2a,0,0)，M(0,0，a)，O(a，a,0),答案：D,答案：A,3已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60，则对角线AC1的长是_,5如图4所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点 (1)求证：BM平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦,(2)以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图5，则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0
5、,0,2)，M(1,1,1)，E(0,1,1) .,空间向量的线性运算,分析 要用a、b、c表示 只需结合图形，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可,如图7：在空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，,空间向量的坐标运算 例2 已知A(3,2,1)、B(1,0,4)，求： (1)线段AB的中点坐标和AB的长度； (2)到A、B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件,答案：A,平行与垂直问题 例3 已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别是对角线AC和BF上的动点，且AMFN. (1)求证：MN平面BEC； (2)求证：MNAB； (3)当M在何
6、位置时，MN取最小值，最小值是多少？,如图9，已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60. (1)求证：BD平面ADC； (2)若H是ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影,夹角与距离问题 例4 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD6，AA14，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|2，Q是DD1的中点，求： (1)异面直线AM与PQ所成的角； (2)M到直线PQ的距离； (3)M到平面AB1P的距离 分析 本题主要考查应用空间坐标运算计算空间角和距离的方法，并介绍了法向量在求解和证明中的应用,如图11，ABCD是边长为a的菱形，且BAD60，PAD为正三角形，且面PAD面ABCD.,解：(1)如图12，选取AD的中点O为原点，以OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则,1空间向量由数量积的性质可用来求角，可证明线线垂直，可用来求线段的长 2在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象,3对空间任意一点A求其坐标的一般方法：过A作z轴的平行线交平面xOy于B，过B分别作x，y轴的平行线，分别交x，y轴于C、D，则由 的长度和方向便可求得点A的坐标,
