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1、第四章 动态电路分析方法 第一节 一阶电路的分析 4.1.1 一阶电路的零输入响应 4.1.2 一阶电路的零状态响应 4.1.3 一阶电路的完全响应 第二节 二阶电路的分析 4.2.1 LC电路中的自由振荡 4.2.2 二阶电路的零输入响应描述 4.2.3 二阶电路的零输入响应非振荡情况 4.2.4 二阶电路的零输入响应振荡情况,研究对象：含动态元件电路的过渡过程分析方法； 关注焦点：零输入响应和零状态响应的物理意义及求解方法。 特别提示：由于电路分析的基本变量是电压和电流，对于含有动态元件的电路，电容电压和电感电流是连续量，在列方程时，一般以电容电压或电感电流为变量。（最后一个例题说明） 一
2、、一阶电路的分析 定义：含有一个动态元件的线性电路。通常是用一阶线性常系数微分方程来描述。,一阶电路的零输入响应 物理意义：所谓零输入响应就是没有外部激励输入，仅仅依靠动态元件中的储能产生的响应。换句话说是求解微分方程在初始条件不为零时的齐次解。 换路：在开关切换的前、后时刻，通常用t0-或t0+表示。,换路后,由上右图。根据KVL得：uc(t)-uR(t)=0 由欧姆定理得：uR(t)=Ri(t) 由电容特性知：,代入整理可得：,解以上线性齐次常微分方程可得：,再利用初始条件，最后解得一阶电路的零输入响应为：,几点说明： (1)RC的量纲为时间，故通常称=RC为电路时间常数。 (2)当t=4
3、时，uc(4 )=0.0184U0，一般认为衰减到零。 (3)1/ 称为电路的固有频率,思考问题： (1)若求出uc(t)，如何求ic(t)？ (2)为什么说RC的量纲是时间？ (3) uc(t) 不能跳变， ic(t)能否跳变？ (4)零输入响应是由什么引起的？ (5)能否根据求解RC电路的过程求解RL电路？ 对于RL电路的分析请同学们自己看书理解，RL电路与RC电路是对称的，同学们只需注意：RL电路中的连续量是il(t)；电感是存储磁场能量的，是以电感电流的形式表现的，初始条件是il(0) ；时间常数 =L/R。 例：t=0时开关闭合，求电路中的i(t),2. 一阶电路的零状态响应 物理意
4、义：所谓零状态响应就是在初始条件为零的情况下，由施加与电路的输入所产生的响应。换句话说是求微分方程初始条件为零时的非齐次解。 下图中K闭合，当t=0时，开关打开，此时uC(0)=0，然后分析电路响应。以电容C两端的电压作为求解对象，则,初始时刻：,稳态以后：uCRIs,根据公式对电路进行定性分析可以得到上图uC变化曲线，若要得到uC的解析表达式，可通过解微分方程得到。,通过解微分方程得到一阶电路零状态响应的解析表达式。 由于电路有外部激励，因此微分方程是非齐次方程，对于非齐次微分方程，其解由齐次解和特解两部分组成。 解齐次方程：,常数k由完全解和初始条件所决定。 特解与外施激励函数有相同的形式
5、，本例中激励函数是恒定电流，所以可以认为特解是常数。设ucp=A，将其代入微分方程得：,完全解为：,由初始条件uC(0)=0代入上式，可以确定k=-Ris，故零状态响应为：,一阶零状态电路的响应曲线如图所示。,对于RL电路的分析，根据对称性原则，同学们自学。,例：电路如图所示，已知uC(0)=0。在t=0时开关闭合，求t0时uC(t)和uo(t)。,由简化后的电路知：,这与前面讨论的方程一致，利用已得结论得：,3. 一阶电路的完全态响应 物理意义：初始状态不为零，外部激励也不为零时电路的响应。 研究方法：在讨论零状态响应时，我们已谈到微分方程的解是由通解和特解组成的，只是在求通解的待定常数时，
6、利用初始条件为零，若初始条件不为零，则可以得到一阶电路的完全响应。 设电路响应为y(t)，y()为电路达到稳态时的响应， y(0)为响应的初始值。,将t=0代入上式,对于该式，如果知道响应初值y(0) 、稳态值y()以及时间常数，就可以完全确定电路响应 y(t)，这种方法称为求电路完全响应的三要素法。,下面对电路完全响应进行分析。 电路如图，K1打开， K2闭合，电路达到稳态。在t=0时， K1闭合， K2打开，求t0时电压uC(t)。,K1打开， K2闭合，电路达到稳态时，uC(0)=UO。 电路切换后达到稳态时，由于电容相当于开路，所以电容两端电压即为电阻R两端电压，所以uC()=ISR
7、时间常数=RC，根据三要素公式可知：,将右式改写为下式可以看到它是由零输入响应和零状态响应组成,例： 如图(a)所示电路，t=0时开关S1打开，S2闭合，在开关动作前，电路已达稳态，试求t0时的uL(t)和iL(t)。 解：t0时，电路已处于稳态,有,开关动作后电路如图(b)所示，电感电流稳态值为：,电路的时间常数：,根据三要素公式，得电感电流：,电感电压为：,例：含有受控源电路的动态分析。K在2的位置，电路处于稳态。t=0时，K由2切换到1。求uc(t)和电流i(t)。 解：为简化电路分析，将含受控源部分的电路用戴维南等效电路代替。参见电路图(b),由KVL得：,开路电压为：,求戴维南电路等
8、效电阻。内部电源置零，外加电压U的方法,将受控源部分用戴维南电路等效后，电路如图所示，根据此电路用三要素法求电路的过渡过程，有：,回到原电路，可知：,例：K在1的位置，电路处于稳态。t=0时，K由1切换到2。求u(t)的零输入响应、零状态响应和完全响应。,解：欲求u(t)响应，但 u(t)响应是电阻两端电压，在求解动态电路时只能以连续量电感电流为求解对象，所以，先求电感电流。 K在1的位置，电路处于稳态，电感相当于短路。则,由于电感电流不能跳变，所以,当K处于2的位置，电路稳定后，,电路时间常数为，,以三要素法求电感电流，,则u(t)为,第二节 二阶电路的分析 （限于时间，该部分由同学自学）,
