近世代数课件--第三章环与域

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1、第三章 环与域,加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想 商域,2019/1/18,1加群、环的定义,定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫做加法，并且用称号+表示。,即：,加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示,则有运算规则：,规定:,则有：,1加群、环的定义,（0为中零元）,定义 一个集合叫做环，假如,1、是个加群，即对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群； 、对于一个叫做乘法的运算来说是闭的； 、关于乘法满足结合律： 、关于乘法与加法满足分配律：,则有运算规则

2、：,1加群、环的定义,2019/1/18,（0为中零元）,1加群、环的定义,规定：,则有：,1加群、环的定义,2019/1/18,交换律、单位元、零因子、整环,定义 一个环叫做交换环，假如,其中a,b为中任意元。,所以有：,定义 一个环的一个元e叫做一个单位元，假如有,其中a为中任意元。,注：不是所有环都有单位元，如下例。,例所有偶数，对于普通数的加法和乘法作成一个环，但没有单位元。,单位元的唯一性：一个环如果有单位元则其单位元是唯一的。,证明：设有两个单位元e和e则有,所以性质成立。,注一个环中的单位元用1表示，且规定,交换律、单位元、零因子、整环,定义 一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆

3、元，假如,逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。,证明：设a有两个逆元b和b，则,所以性质成立。,注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除和-1外其余元都滑逆元。,交换律、单位元、零因子、整环,用a-1表示a的逆元，且规定,则对任何整数都有,交换律、单位元、零因子、整环,定义 若在一个环里,但,则称a是环的一个左零因子，b是环的一个右零因子。,例 所有模n的剩余类规定R中的加法和乘法如下：,可以验证是一个环，称为模n的剩余类环。,若n不是素数，则,但,所以n非平凡因子均为的零因子。,交换律、单位元、零因子、整环,例 高等代数中一个数域上一切n阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做成一个

4、有单位元的环，,则当,时有非0矩阵乘积为矩阵，所以有零因子。,如,但,交换律、单位元、零因子、整环,定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。,证明：因为没有零因子，所以由,得,和,即,消去律成立。,交换律、单位元、零因子、整环,反之，假设消去律成立，因为,所以由消去律知若,则,所以环没有零因子。,交换律、单位元、零因子、整环,推论 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律也成立。,定义 一个环叫做一个整环，若,、乘法适合交换律：,、有单位元:,3、没有零因子：,其中a,b为中任意元素。,例如整数环是一个整环。,交换律、单位元、零因子、整环,201

5、9/1/18,除环、域,例只包括一个元a加法和乘法规定为：,则是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。,例全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成一个环，显然对于任意一个非有理数a，都有逆元a-1。,定义 一个环叫做一个除环，若,、至少包含一个不等于零的元； 、有一个单位元； 、每一个不等零的元都逆元。,定义 一个交换除环叫做一个域。,除环的性质：,、除环无零因子。,因为,、除环的不等零的元对于乘法来说作成一个群,称为除环的乘法群。,注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的桥梁。,除环、域,所以在域中可以用,表示a-1b和ba-1。,则有以下结论：,但是a-1b不一定等于

6、ba-1，而在域中，则有a-1bba-1,方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1.,除环、域,、,当且仅当ad=bc时成立；,、,、,则是一个除环，但不是交换环。,因为对于非零元,均有逆元,但是(i,0)(0,1)=(0,i),(0,1)(i,0)=(0,-i)所以,这个环是四元数除环。,除环、域,环的分类：,除环、域,2019/1/18,无零因子环的特征,例设p是一个素数，则模p的所有剩余类构成一个环，则可以证明是一个域。,证明：只需证明的所有非零元作成一个乘群。,、结合律成立，则数的乘法结合律知；,、由于p是素数，所以p不整除a，p不整除b时一定有p不整除ab,所以,时有

7、,即,讨论规则：,、p不整除a，但p整除a(x-x)时，则p整除x-x，即有,所以是一个乘法群，则是一个域。,无零因子环的特征,注：在该域中，一个非零元a有pa=0。,证明：因为pa=a+a+a=pa=0.,分析原因：是因为中除零元外，其余元的阶（加法）均为p是一个有限数。,定理 在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对于加法来说）都一样。,所以a的阶不超过b的阶，b的阶不超过a的阶，所以 a的阶b的阶.,无零因子环的特征,定义 一个无无零子环的非零元的相同的（加法）阶叫做环的特征。,定理若无零因子环的特征是一个有限数n，则n一定是素数.,证明：假如n不是素数，n=n1n2，那么对于的一个非

8、零元a有,但是,与是无零因子环矛盾，所以n是素数。,无零因子环的特征,推论 整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。,结论：在一个特征为p的交换环中有,无零因子环的特征,2019/1/18, 5 子环、环的同态,定义 一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环。,一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个除环。,同样可以规定子整环、子域概念。,结论：一个环的非空子集S作成子环的充要条件是：, 5 子环、环的同态,例1 R本身是环R的子环。由0一个元作成的集合也是R的子环。,例2 一个环R可以同每一个元交换的元作成一

9、个子环，叫作环R的中心。,定理2 设R和 是两个环，并且R与 同态，则R的零元的象是 的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，R是交换环则 也是交换环，R若有单位元1 ，则 也有单位元 而且 是1的象。, 5 子环、环的同态,注：R是无零因子环， 是一个有零因子。, 5 子环、环的同态,显然是R到 的一个同态满射。R的零元是（0，0），而,注：R是有零因子环， 是一个无零因子。, 5 子环、环的同态, 5 子环、环的同态, 5 子环、环的同态,定理4（挖补定理）设S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环 没有共同元，并且 ，则存在一个与R同构的环 而 是 的子环。,所以有同构映射,R

10、中不属于S的元为a,b,c,则,规定一个映射,则可以证明,。, 5 子环、环的同态,2019/1/18, 6、多项式环,定义 一个可以写成,形式的R0的元叫做R上的一个多项式，ai叫做多项式的系数。其中,系数是R上的所有多项式构成 一个集合记为,定义加法与乘法运算如下：,加法,其中,结论：1、加法与乘法封闭。,定义 叫做R上的 的多项式环。,乘法, 6、多项式环,定义 R0的一个元x叫做R上的一个未定元，若R中找不到不都等于0的元a0,a1,an，使得, 6、多项式环,定义 令,是环R上的多项式，则n称为为个多项式的次数，0多项式没有次数。,定理1 有单位元交换一定有未定元x存在。,证明思路：

11、1、利用交换环R构造一环,其中只有有限个ai不等于零.则定义加法和乘法可证明其为交换环。,2、利用 可以得到一个包含R的环P,3、证明P包含R上的未定元。, 6、多项式环,定义 一个有形式,多项式环记作,定义 R上的x1,x2,xn任何一个系数不全为零的多项式不等于0，则称x1,x2,xn为R上的无关未定元。, 6、多项式环,定理2 R为一个交换环，n为一个正整数，则一定有R上的无关未定元x1,x2,xn存在。,证明思路：由定理1和数学归纳法得到。, 6、多项式环,证明思路：,则定义映射：,可以证明其为一个同态映射。, 6、多项式环,2019/1/18, 7 理想,定义环R的一个非空子集,叫做

12、一个理想子环（理想）若：,1、,2、,显然：只包含零元的集合，是R的理想，称为R的零理想。,R自己也是R的理想，称为R的单位理想。,定理1 除环R中有零理想和单位理想。,所以对任意,所以,注：理想对除环和域没有用处。, 7 理想,例1 设R是整数环，n为是0，1的整数，则所有倍数rn作成一个理想。,例2 环R上的一元多项式环Rx则所有次数不超过n次的多项式构成的集合是Rx的理想。, 7 理想,设R一个环，若a为R的一个非0元，则所有形式为,的元构成一个集合是R的一个理想记作 。, 7 理想,定义 上面得到的理想叫做由a生成的主理想，记作(a).,当R为交换环时,当R有单位元时,当R有单位元且为

13、交换环时, 7 理想,是R的一个理想。,证明：因为,则,所以是R的理想。, 7 理想,定义,称为由,生成的理想。,记作, 7 理想,例3 设Rx整数环R上的一元多项式环，则,1、可以证明, 7 理想,2019/1/18, 8 剩余环、同态与理想,设R为一个环， 为其一个理想，则对加法运算,是R的一个分类，称为R的模 的剩余类。,显然, 8 剩余环、同态与理想,加法,乘法,则有结论：,定理1 设R是一个环， 是它的一个理想， 是所有模 的剩余类作成的集合，则 是一个环且与R同态。,证明 映射,是R到 的同态满射，所以,与R同态，所以 是一个环。,定义 叫做环R的模 的剩余类环记作, 8 剩余环、同态与理想,定理2 设R与 是两个环，并且同态，则同态满射的核 是R的一个理想，并且,证明：1、证明 是R的一个理想。, 8 剩余环、同态与理想,假设,那么,则有,即,假设,那么,则有,即,所以,是R的一个理想., 8 剩余环、同态与理想,2、证明,规定一个法则,则由,得,是一个映射，且是一个满射。,而,所以,是一个一一映射。,由于,所以,