《届高考数学第一轮总复习 2.6 幂函数与二次函数课件 文 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考数学第一轮总复习 2.6 幂函数与二次函数课件 文 新人教a版（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 六 节 幂函数与二次函数,【知识梳理】 1.幂函数 (1)定义:形如_(R)的函数叫幂函数,其中x是_, 是常数. (2)幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象与性质:,y=x,自变量,R,R,R,x|x0,x|x0,R,y|y0,R,y|y0,y|y0,奇函数,偶函数,奇函数,非奇非,偶函数,奇函数,在R上,单调,递增,在(-,0)上单,调递减,在(0,+)上,单调递,增,在R上,单调,递增,在(0,+),上单调递,增,在(-,0),和(0,+),上单调递,减,(1,1),2.二次函数 (1)解析式:,ax2+bx+c,(h,k),(2)图象与性质:,b=0,【考点自
2、测】 1.(思考)给出下列命题： 函数y=2x 是幂函数； 如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； 当n0时，幂函数y=xn是定义域上的减函数； 二次函数y=ax2+bx+c,xm,n的最值一定是 关于x的不等式ax2+bx+c0恒成立的充要条件是 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.错误，不符合幂函数的定义. 正确，因若相交，则x=0得y=0，若y=0，则得x=0. 错误，幂函数y=x-1在定义域上不单调. 错误，当- m,n时，二次函数的最值，在区间端点 达到，而非 错误，由ax2+bx+c0恒成立不一定有 因为a可以为0.,2.函数f(x)=(m-1)x2
3、+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3) 上( ) A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增 【解析】选D.因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数, 所以2m=0,所以m=0. 则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.,3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围 是( ) 【解析】选C.由已知得 解得a,4.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象,则解析式中指数k的值依次可以是( ) A.-1, ,3 B.-1,3, C. ,-1,3 D. ,3,-1,【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k
4、1,k2,k3,则k11,故选A.,5.(2014株洲模拟)如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b) 的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为 . 【解析】由已知得 解得 所以f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5,x-4,6. 故f(x)min=f(1)=5. 答案:5,考点1 幂函数及其图象与性质 【典例1】(1)(2014恩施模拟)若 则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.cab C.bca D.bac (2)已知幂函数f(x)= (mN*)的图象关于y轴对称，且 在(0，+)上是减函数，求满足(a+1) (3-2a) 的实数a的取 值范围.,【解题视
5、点】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较. (2)首先根据单调性求m的范围，其次由图象的对称性确定m的 值，最后根据 的大小，求解关于a的不等式.,【规范解答】(1)选D.因为y= 在第一象限内是增函数， 所以 因为y= 是减函数， 所以 所以bac. (2)因为f(x)在(0,+)上是减函数， 所以m2-2m-30,解之得-1m3. 又mN*，所以m=1或m=2.,由于f(x)的图象关于y轴对称.所以m2-2m-3为偶数， 又当m=2时，m2-2m-3为奇数，所以m=2舍去，因此m=1. 又y=x 在0,+)上为增函数， 所以(a+1) (3-2a) 等价于0a+13-2a, 解之得-1a
6、 , 故实数a的取值范围是a|-1a .,【易错警示】注意对所求值的检验 本例第(2)题在求得m的值后要注意检验是否符合题意,否则易导致错解. 【规律方法】 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂,选择适当的幂函数,借助其单调性进行比较或应用.,2.幂函数的指数与图象特征的关系 当0,1时,幂函数y=x在第一象限的图象特征:,【变式训练】(1)(2014大同模拟)函数y= 的图象大致是 ( ) 【解析】选C.y= ，其定义域为xR，排除A，B，又 0 1，图象在第一象限为上凸的,排除D，故选C.,(2)(2014包头模拟)若a0，则下列不等式成
7、立的是( ) 【解析】选B.因为a0,所以y=xa在(0,+)上是减函数,且函 数值大于零， 所以 故选B.,【加固训练】1.如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( ) A.y=x ,y=x2,y=x ,y=x-1 B.y=x3,y=x2,y=x ,y=x-1 C.y=x2,y=x3,y=x ,y=x-1 D.y=x ,y=x ,y=x2,y=x-1,【解析】选B.根据常见幂函数的图象判断或取特殊值,逐个验证知B正确.,2.已知05且Z,若幂函数y=x3-是R上的偶函数,则的取值为( ) A.1 B.1,3 C.1,3,5 D.0,1,2,3 【解析】选A.根据05且Z,得:
8、=0,1,2,3,4,5.使函数y=x3-为R上的偶函数的的值为1,则的取值为1.,3.(2014长春模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3在(0,+)上是增函数,则m= . 【解析】由已知得 解得m=-1. 答案:-1,考点2 利用二次函数的图象与性质求解二次函数问题 【典例2】(1)(2013浙江高考)已知a,b,cR,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)f(1),则( ) A.a0,4a+b=0 B.a0,2a+b=0 D.a0,2a+b=0,(2)(2014成都模拟)如图直角梯形OABC位于平面直角坐标系中,其中OC=1,BC=1,OA=2,动点P从C出
9、发沿折线段CBA运动到A(包括端点),设点P的横坐标为x,函数f(x)= . 求函数y=f(x)的解析式; 作出函数y=f(x)的草图,并求f(x)的单调递增区间; 若函数y=f(x)-c有零点,求c的取值范围.,【解题视点】(1)根据条件确定函数图象的开口方向和对称轴,化简即得. (2)分点P分别在线段BC,BA上两种情况确定P点坐标,进而构建函数y=f(x). 作出y=f(x)的图象,数形结合求解.,【规范解答】(1)选A.因为f(0)=f(4)f(1)，所以函数图象 应开口向上，即a0，且其对称轴为x=2,即 =2， 所以4a+b=0. (2)由已知C(0，1)，A(2，0)，B(1，1
10、)， 当点P位于线段BC上，即0x1时，点P(x,1)，于是 =(x,1)， =(2-x,-1)， y= =x(2-x)-1=-x2+2x-1，,当点P位于BA上，即1x2时，点P(x,2-x)， 于是 =(x,2-x)， =(2-x,x-2), y= =x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2x2+6x-4. 于是函数f(x)=,f(x)= 的图象如图所示： 由图象知，f(x)的单调增区间为0， . 由图象知，f(0)=-1,f( )= ，若函数y=f(x)-c有零点， 即方程f(x)=c有解，故c的取值范围为-1， .,【互动探究】若本例(2)条件不变，求函数y=f(x)的最大值. 【解析
11、】由本例(2)的函数图象知,【规律方法】 1.求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法及类型 二次函数求最值问题,一般先用配方法化为y=a(x-m)2+n(a0)的形式,得顶点(m,n)和对称轴方程x=m,结合二次函数的图象求解,常见有三种类型: (1)顶点固定,区间也固定. (2)顶点含参数(即顶点为动点),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外. (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.,提醒:讨论的目的是确定对称轴和区间的关系,明确函数的单调性,从而确定函数的最值.,2.二次函数单调性有关问题的求解策略 根据二次函数的单调性,结合二次函数图象的开口方向及升
12、、降情况对对称轴进行分析、讨论,进而求解.,【变式训练】(2014北京模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3, x-4,6. (1)当a=-2时,求f(x)的最值. (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数. (3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,【解析】(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在-4,2)上为减函数,在(2,6上为增函数, 所以f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35. (2)函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=- =-a,所以要使f(x)在-4,
13、6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.,(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 其图象如图所示: 又因为x-4,6,所以f(|x|)在区间-4,-1和0,1上为减函数,在区间-1,0和1,6上为增函数.,【加固训练】 1.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x-2,3时,求函数f(x)的值域. (2)若函数f(x)在-1,3上的最大值为1,求实数a的值. 【解析】(1)当a=2时，f(x)=x2+3x-3 又x-2,3， 所以 f(x)max=f(3)=15,所以值域为,(2)对称轴为 当 1,即a- 时， f(x)max=f(3)=6
14、a+3, 所以6a+3=1,即a=- 满足题意； 当 ,即a- 时， f(x)max=f(-1)=-2a-1, 所以-2a-1=1,即a=-1满足题意. 综上可知a=- 或-1.,2.(2014盐城模拟)已知函数f(x)=ax2-2x+1. (1)试讨论函数f(x)的单调性. (2)若 a1,且f(x)在1,3上的最大值为M(a),最小值 为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表达式. (3)在(2)的条件下,求证:g(a) .,【解析】(1)当a=0时，函数f(x)=-2x+1在(-,+)上为减 函数； 当a0时，抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向上，对称轴为x= ，
15、所以函数f(x)在(-, 上为减函数，在 ，+)上为增 函数； 当a0时，抛物线f(x)=ax2-2x+1开口向下，对称轴为x= ， 所以函数f(x)在(-, 上为增函数，在 ，+)上为减 函数.,(2)因为 由 a1得1 3, 所以 当1 2，即 a1时，M(a)=f(3)=9a-5，故 g(a)=9a+ -6; 当2 3，即 时，M(a)=f(1)=a-1, 故g(a)=a+ -2. 所以,(3)当a 时，g(a)=1- 0， 所以函数g(a)在 上为减函数； 当a( ，1时，g(a)=9- 0， 所以函数g(a)在( ,1上为增函数， 所以当a= 时，g(a)取最小值，g(a)min=g( )= . 故g(a) .,考点3 利用二次函数的图象与性质求解一元二次 方程、不等式问题 【考情】二次函数的图象与性质与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点,常以选择、填空题的形式出现,考查求解一元二次不等式、一元二次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题,同
