《(3.7)应用高等数学微积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(3.7)应用高等数学微积分（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、立体体积,二、物体的质心,三、物体的转动惯量,四、物体的引力,3.7 三重积分的应用,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,例1. 求半径为a 的球面与半顶角为,的内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,二、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力
2、学知, 该质点系的质心坐标,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,为,即:,采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,同理可得,则得形心坐标：,例2. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线,的方程为,内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,采用柱坐标, 则炉壁方程为,因此,故,自重, 求它的质心.,若炉,不计炉体的,其坐标为,三、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 ,
3、 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例3.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),G 为引力常数,四、物体的引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,例4. 求半径 R 的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解: 利用对称性知引力分量,点,
