《2013届高考数学考点回归总复习《第七讲函数的奇偶性与周期性》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013届高考数学考点回归总复习《第七讲函数的奇偶性与周期性》（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七讲函数的奇偶性与周期性,回归课本,1.函数的奇偶性 (1)函数的奇偶性的定义,(2)对函数奇偶性的理解 函数奇偶性的判断 a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数.,b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)f(x)且f(-x)-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,在公共定义域内 a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和
2、是奇函数. b.两偶函数的和积与商(分母不为零)为偶函数. 奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反.,2.函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若T0是f(x)的周期,则kT(kZ)(k0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上下界.,考点陪练,答案:B,2.(2010新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-
3、4(x0),则x|f(x-2)0=() A.x|x4 B.x|x4 C.x|x6 D.x|x2 解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x0,解得x0,解得x4,综上x|f(x-2)0=x|x4,故选B. 答案:B,3.(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+20+b=0,解得b=-1,所以当x0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+21-1)=-3,故选A. 答案:A,4.(2010广东)若函
4、数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则() A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数. 答案:B,答案:2x+3,类型一 函数奇偶性的判断 解题准备:判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既不是奇函数也不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: 定义判
5、断:f(-x)=f(x)f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数.,等价形式判断:f(-x)-f(x)=0f(x)为偶函数. f(-x)+f(x)=0f(x)为奇函数. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.,分析判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断.,的定义域关于原点对称, 当x0时,-x0). 当x0, f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x) =-f(x)(x0). f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.,类型二 函数的单调性与奇偶性的综合问题 解题准备:1.讨论函数的单调性和奇偶性时
6、,应先确定函数的定义域. 2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. 3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型.,又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2) =2(x2-x1)0, 1-x20,1+x10, (1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x20.,类型三 函数的周期性 解题准备:三个结论:若ab是非零常数,且ab,则有,结论2:(对称性与周期关系结论) (1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|; (2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|; (3)f
7、(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|. 结论3:(奇偶性与周期关系结论) (1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|; (2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|. (上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期).,类型四 函数的奇偶性与周期性的综合问题 解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程不等式等综合问题.,【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都有f(x+1)=-f
8、(1-x),且方程f(x)=0在-1,1上只有一个根,则方程f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左到右数起). 解由f(x+2)=-f1-(x+1)=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由xR,f(x)是奇函数,且f(x)=0在-1,1上只有一个根,知f(0)=0,方程f(x)=0的第2000个根是4000,f(x+1)=0的第2000个根是3999.,错源一 忽略定义域出错,剖析判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关于原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性;否则,函数一定不具有奇偶性.其次,
9、要看f(x)与f(-x)之间的关系. 正解函数的定义域为x|x1,定义域不关于原点对称,因此该函数为非奇非偶函数.,错源二 忽视对参数的讨论 【典例2】判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(aR)的奇偶性. 错解显然函数定义域为R. 因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, 所以f(-a)f(a),且f(-a)-f(a), 所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,剖析此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到a=0这种特殊情形,以致解题出错. 正解当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x), 此时f(x)为偶函数; 当a0时, f(a)=
10、a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(-a)f(a),f(-a)-f(a), 此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,技法一 快速解题(数形结合法) 【典例1】已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足f(x+3)=-f(3-x)f(x+4)=f(4-x),则f(x)是() A.奇函数也是周期函数 B.偶函数也是周期函数 C.奇函数但非周期函数 D.偶函数但非周期函数,快解由于本题为选择题,故可用数形结合法,画出符合题意的图象即可选对答案.函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴,如下图所示,点(2k-1,0)都是对称中心,直线x=2k都是对称轴,这里的kZ,故
11、选B.,另解切入点因为f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴. 分析思维过程要利用两个条件式,推证出f(x)是奇函数或偶函数,需找到两式的联系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出现,如此推演,有望得到结果.,解析f(x+3)=-f(3-x) f(x+4)=f(4-x) f(x+4)=f(x+1)+3=-f-(x+1)+3=-f(2-x)=-f4-(x+2) =-f4+(x+2)=-f3+(x+3)=f3-(x+3)=f(-x). 则f(4-x)=f(-x)+4=f(x). f(-x)=f(x),且
12、f(x+4)=f(x). 故函数f(x)是偶函数,也是周期函数,选B. 答案B,方法与技巧解是由函数满足的关系一步一步推证,步骤较多,不易掌握.而数形结合法简单直观,好掌握,易理解,对于解选择题非常适宜. 得分主要步骤运用好已知的两个条件式是很重要的.首先由式入手,使之出现式的形式,再由到,每步都需认真思考,是否满足条件,是否可以得到需要的结果. 易丢分原因各步变换时,注意符号,稍有不慎将会出错.如由f(x+4)得到f(-x),故f(4-x)=f(-x)+4=f(x).,技法二 探寻判断奇偶性的途径,解解法一:对于比较复杂的函数解析式,除了用定义法进行判断外,还可以考虑用f(-x)=f(x)变
13、形式:f(-x)f(x)=0进行判断,应注意的是在利用这两个式子进行判断之前,应先探求是用f(-x)+f(x)=0还是用f(-x)-f(x)=0来进行判断.,方法与技巧本题是用验证法判断函数的奇偶性.关系式f(-x)f(x)=0实质是函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)的一个变形式,使用这个变形式进行判断时,降低了对函数奇偶性判断的难度,将问题转化为代数式的化简过程,它比用定义法判断更简洁.,方法与技巧在用作商比较法进行判断时,容易出现以下错误:忽略对x=0这一情况的判断;按x0与x=0进行了讨论,当x=0时有f(-0)=0=-f(0)=f(0),就认为函数f(x)既是奇函数又是偶函数,事实上函数的奇偶性是函数的整体性质,因此不能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性.,
