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1、1,第2章 控制系统的数学模型,2-2 控制系统的微分方程,2-3 线性定常系统的传递函数 (transfer function),2-4 控制系统的结构图,2-5 控制系统的信号流图,2-6 闭环控制系统中几个常用的传递函数概念,2.1 引言,2,基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。 6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传
2、递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。,3,2.1 引言,系统的数学模型是指描述系统输入输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。,静态数学模型,动态数学模型,动态数学模型有多种形式：,1、时域中的数学模型：,微分方程、差分方程、状态方程,2、复域中的数学模型：,传递函数、动态结构图、信号流图,3、频域中的数学模型：,频率特性,建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法,要求模型尽可能符合实际物理系统的特性，并且准确可靠；在满足精度要求的情况下，建立的数学模型应尽可能简单。,4,解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学
3、表达式，并实验验证。,实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法,总结： 解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。,2.1 引 言,5,2.2 控制系统的微分方程,一、建立系统或元件的微分方程的基本步骤： 1、根据控制任务要求，确定系统和各
4、组成元件的输入、输出变量。 2、依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列写出一组描述各变量之间关系的微分方程和代数方程。 3、消去中间变量，得到系统输入变量和输出变量之间的微分方程。 4、对微分方程进行整理，写成标准形式。即将输出量及其各阶导数项放在等号左边，输入量及其各阶导数项放在等号右边，并按降幂排列。,2.2.1 控制系统微分方程的建立,6,解: 设回路电流为 i(t) , 由基尔霍夫定律可写出回路方程为,例2-1 图为由电阻R、电感L电容C组成的无源网络,试列写以 ui(t) 为输入量, 以uo(t)为输出量的网络微分方程.,7,假定R、L、C都是常数，这是一个二阶常系数线性微分方程,
5、也就是上图无源网络的时域数学模型。,8,解：质量 m 上受力情况如图示。,根据牛顿第二运动定律有：,（2-2）,9,10,例2-3 列写两级RC电路的微分方程,解：根据基尔霍夫定律，可写出下列方程组,消去中间变量,上式是二阶常系数线性微分方程。,11,注意：该电路是由两个一级RC电路串联而成，后一级RC电路中的电流影响着前一级RC电路的输出电压 ，这就是负载效应。,若要消除负载效应，可在两个RC电路之间设置隔离放大器,这时所列写的微分方程为（前两个方程消除i1,后两个方程消除i2,最后消除u1）,上式是二阶常系数线性微分方程。,12,例2-4,有源网络如图所示。列写输出与输入之间的微分方程,解
6、：由运算放大器的基本特性和基尔霍夫定律，列写出下列方程,消去中间变量i1,后两个方程消除i2,最后消除uc，可得：,上式是二阶常系数线性微分方程。,13,例2-5,列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程。,ua取为输入量，m为输出量。,电枢转动惯量，,14,电枢回路电压平衡方程,式中 Ea(V) 是电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的电势,其大小与激磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压 ua(t) 相反,即 是反电势系数.,解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 在电枢回路中产生电枢电流 ，再由电流 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩 ，从而拖动负载运动。直
7、流电动机的运动方程可由以下三部分组成：,(2-5),15, 电磁转矩方程,(2-3), 电动机轴上的转矩平衡方程,(2-6),式中, 是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数; 是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量.,式中 是电动机转矩系数 , 是电枢电流产生的电磁转矩.,16,由式(2-3)、式(2-5)、式(2-6）消去中间变量 ia(t) , Ea 及 Mm(t) , 便可得到以 m(t) 为输出量,以ua(t)为输入量的直流电机微分方程为,(2-7),17,(2-7),(2-11),(2-12),18,例2-6,直流调速控制系统如图所示。以给定电压为系统的参考输入，电动机转速为
8、系统的输出，列写微分方程。,解：,消去中间变量e、ua、uT,测速发电机的电压与电动机的角速度成正比：,19,分别是电动机轴上的转动惯量和粘性摩擦系数,分别是负载轴上的转动惯量和粘性摩擦系数,负载轴上的外加阻力矩,分别是减速器大、小齿轮的齿数,给定转角,工作机械的转角,桥式电位计输出电压,电枢电压,电枢电阻,电枢电感,电枢反电势,电动机的角位移,位置随动系统如图 所示，以手柄给定转角 为系统的输入，工作机械的转角 为系统的输出，列写系统的微分方程。,例2-7,20,1、桥式电位计,2、放大器,21,3、电动机,电机输入输出方程为,（考虑了负载效应）,22,4、减速器,5、工作机械,均折算到电动
9、机轴上，折算后：,23,消去中间变量并将折算公式 带入，得到,若忽略,的数值，考虑,令,可简化为,二阶线性定常系统,位置随动系统的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程,24,2.2.2 非线性微分方程的线性化,在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。,25,于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。 对弱非线性的线性化 如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。 平衡位置附近的小偏差线性化
10、 输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。,26,在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。,27,可得 ，简记为 y=kx。 若非线性函数由两个自变量，如zf（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）,经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。,28,使用小偏差法的步骤： 1将非线性元件线性化 设非线性元件的输
11、入输出特性可用非线性函数表示，且可以在平衡点的邻域内展开成泰勒级数，忽略展开式中的高次项，则元件的输入输出特性可近似写成线性化增量方程。 2将非线性微分方程增量化 由于非线性元件的线性化描述是一个增量方程，为方便起见，需要将系统中的变量转换成增量形式，使描述系统的微分方程增量化。具体做法为：将微分方程中的各个变量用平衡点处的值和增量值之和的形式表示，并且考虑平衡点处各变量之间的关系，就可以得到增量化的非线性微分方程。 3将非线性微分方程线性化 将非线性元件的线性增量方程与系统的非线性增量微分方程联立，求得描述系统的线性增量微分方程。,29,小偏差法的应用条件： （1）要求输入输出变量在平衡点附
12、近作小范围变化，否则忽略泰勒展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。 （2）要求非线性特性曲线在平衡点处连续可导，对某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能使用小偏差法。,30,叠加原理,叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。,例： 设线性微分方程式为,若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。,线性系统的基本特性,31,上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。,若 时， 为实数，则方程解为 ，这
13、就是齐次性。,32,例2-8,单容水箱液位系统如图所示。,为水箱的流入量，,为流出量，水箱液面高度为,，水箱的截面积为,列写,与,之间的线性化微分方程。,解：,设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，有,通过负载阀（节流阀）的液体是紊流，根据流体力学,是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时为常数。,1（a）非线性元件,33,这是一个一阶非线性微分方程。,液位系统在平衡点附近小范围内工作时，各变量可以表示为,称为水阻,2（a）非线性微分方程,1（b）非线性元件线性化（增量形式）,34,考虑平衡点处,是系统的非线性微分方程的线性化结果，是平衡点附近的线性增量方程。,简记为,2（b）非线性微分方程
14、增量化,3 非线性微分方程,35,例2-9,铁芯线圈及其非线性特性如图,为输入，,为输出,列写微分方程并进行线性化。,解：,是一个非线性微分方程。,非线性微分方程,为线圈的自感应电势。,为线圈的磁链/通。,36,忽略二次方以上的各项，得到,使用小偏差法进行线性化时，须注意满足它的应用条件：（1）要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化，否则忽略泰勒展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。（2）要求非线性特性曲线在平衡点处连续可导，对某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能使用小偏差法。,非线性元件线性化（增量形式）,非线性微分方程增量化,非线性元件,非线性微分方程,37,2.2.3 用拉氏变
15、换求解线性常系数微分方程,线性常系数微分方程的求解可以采用拉氏变换法。求解过程如下：,1对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，又称变换方程。 2将输入量和初始条件代入变换方程进行求解，得到输出量的拉氏变换函数表达式。 3将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。 4对部分分式进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为微分方程的全解。,38,拉普拉斯(Laplace)变换, 定义：,若F(s)是f(t) 的拉氏变换，称f(t)为F(s)的拉氏逆变换，记作f(t) =L-1F(s). F(s)和f(t)为 一个拉氏变换对。,39, 拉氏变换表,表21 拉氏变换表,40, 位移定理：, 线性定理：, 微分定理：,41,当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：,42, 终值定理：, 初值定理：,43,一般地，象函数F(s)是复变数s的有理代数分式,44,45,则有,根据式(2-12),根据式(2-13),得原函数,46,(2) A(s)=0有重根时,47,故有原函数,(2-15),48,附例2,根据式(2-15),49,例210,求得RLC无源网络的输入输出微分方程,已知,求输出电压,对微分方程两边进行拉氏变换,解：,50,2.2.3（续）用拉氏变换求解线性常系数微分方程,例2-10 在例2-
