《2012高三数学一轮复习6-2平面向量基本定理及坐标》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012高三数学一轮复习6-2平面向量基本定理及坐标（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6-2 平面向量的基本定理及其坐标表示,友好三中数学备课组,学习目标,1、知识与技能 了解向量的夹角与垂直的概念，会把向量正交分解，理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，掌握向量的四种坐标运算。 2、过程与方法 理解平面向量基本定理，能够在具体问题中适当地选取基底，表示二维平面内的任意一个向量。体会一维向量用数乘运算，二维向量用数乘和运算的思想。 3、情感、态度与价值观 通过向量的学习与应用，体会数学数形结合思想。,重点与难点,1、重点：平面向量基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示。 2、难点： 平面向量基本定理的应用。,1.两个向量的夹角
2、 (1)定义 已知两个 向量a 和b，作 OA=a,OB=b， 则 AOB= 叫做向量a与b 的夹角(如图).,非零,知识衔接,(2)范围 向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角= ;a与b反向时,夹角= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 . 2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平,0180,0,180,90,ab,不平行,面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a = . 其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 . (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向
3、量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示,1e1+2e2,基底,互相垂直,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj . 把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 叫做a在x 轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标. 设OA=xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点).,(x,y),(x,y),(x,y),向量OA的坐标(x,y),x,y,3平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算,(x1x2， y1y2),(x1x2
4、， y1y2),(x1， y1),(2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线 a= .,x1y2-x2y1=0,终点,始点,b,答案：A,答案：(2,4) (3,9) (5,5),如右图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.,【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参 数的值.,考点一
5、平面向量基本定理的应用,【解析】设BM=e1,CN=e2, 则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2. A,P,M和B,P,N分别共线, 存在实数,使AP=AM=-e1-3e2, BP=BN=2e1+e2, 故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2, +2=2 = 3+=3, = . 故AP= AM,即AP:PM=4:1.,由基本定理，得,解得,【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用. （2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在此类问题中的应用. （3）用基底表示向量也是用向量解
6、决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.,变式训练 1 ,设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=OA+OB且+=1(,R).,证明:P点在AB上，AP与AB共线. AP=tAB(tR). OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB. 令=1-t，=t，则有OP=OA+OB,+=1 (,R).,已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.,【分析】利用向量的坐标运算及向量的
7、坐标与其起点、终点坐标的关系求解.,考点二 平面向量的坐标运算,【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), -6m+n= 5 m=-1 -3m+8n=-5, n=-1.,解得,【评析】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标 ,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.,(3)CM=OM-OC=3c, OM=3c+OC=(3,2
8、4)+(-3,-4)=(0,20). M(0,20).又CN=ON-OC=-2b, ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), N(9,2).MN=(9,-18).,变式训练 2 已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求实数x的值 解：因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab， 所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)， v2(1,2)(x,1)(2x,3)， 又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0， 即10x5，解得x2 .,考点三 平面向量解决共线问题,达标训练 如右图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和
9、OB交点P的坐标,向量的工具性在解析几何中可以得到充分地体现，因此，近年的高考中常有解析几何与平面向量交汇的题目向量的坐标运算在解析几何中的应用主要体现在：用向量给出的条件可以转化为向量的坐标的关系，而向量的坐标与曲线上点的坐标往往具有内在的联系，将这种内在的联系挖掘出来，也就找到了解题的思路解析几何中的平行，求轨迹方程，求最值等问题都可以很容易地与平面向量结合起来，而向量的坐标运算也可以使这些问题的求解过程变得简单易行.,在平面向量基本定理的学习中，要注意定理的应用条件，e1、e2是一组不共线向量，当基底确定后，这种表示是唯一的而对于基底的选取却不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为一组基底平面向量基本定理是平面向量的重要内容，它是向量运算数量化、代数化的依据，为后面的学习奠定了基础,
