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1、多元统计分析,多元统计分析：通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及解释这些变量内在的变化规律。,一元统计分析一个随机变量的统计规律; 多元统计分析多个随机变量之间的 相互依赖关系及内在统计规律性.,多元统计分析应用： 经济学、工业、农业、医学、教育学、 生态学、地质学、社会学、考古学、环境学、气象、文学等许多领域,多元统计分析主要内容： 1、多元正态总体的参数估计和假设检验 2、常用的处理多元数据的统计方法： 1）聚类分析 2）判别分析 3）主成分分析 4）因子分析 5）多重多元回归分析等等,第一章 多元统计中的基本概念,第一节 基本概念 第二节 多元正态分布 第三节
2、多元统计中的常用分布,第一节 基本概念,1.随机向量 Def1:将p个随机变量 的整体称为p维随机向量，记作 。,分布函数,离散型：分布律 连续型：密度函数,分布密度函数,满足,分布密度函数应满足的两个条件？,Def2:设 是p维随机向量，称由它的q（qp）个分量组成的子向量 的分布为 的边缘分布，相对的把 的分布称为联合分布。,边缘分布函数和边缘分布密度可由联合分布和联合密度确定。,Def3:若p个随机变量 的联合分布等于各自的边缘分布的乘积，则称 是相互独立的。,2.随机向量的数字特征,（1）数学期望,其中，,均值向量具有如下性质：,（2）协方差矩阵 设 称,为X的协差阵。,若X的协差阵存
3、在，且每个分量的方差大于0，则称随机变量X的相关阵为 ，其中 为相关系数。,设标准离差阵为 则有,称X和Y的协差阵为：,协差阵具有如下性质：（试证之）,3.多元数据的表示方法 把所研究的全部可能对象叫做一个总体，对象的每个属性(或称指标)叫做一个变量。如果同时研究对象的p个属性，这p个属性可以用p个变量 表示。因此这个总体可以看成一个p元变量 。 从总体中随机抽取进行观测的若干对象叫做样本。组成样本的每一个对象叫做样本单元。样本单元的个数叫做样本容量。设从总体中随机抽出容量为n的样本进行观察，第i个样本的p个观察值记为 习惯上用p维向量表示为,多元分析的任务分析各变量之间的关系，推断总体的性质
4、,为一维随机变量 为多维随机变量 (随机向量),4.多元总体的概念 多元分析研究具有多个(如p个)属性(指标)的对象组成的总体-多元总体。 从总体中任意抽出一个对象(总体单元)，其p个属性的值为,多元总体多维随机变量(随机向量)可能取值的全体。,观测矩阵（随机） （样本资料阵）,5.多元样本的相关概念,从多元总体中随机抽取n个个体。,i.i.d. 简单随机样本,多元分析的 研究对象,（1） 样本平均值,样本平均值是n个 样本点的重心,（2） 样本离差阵,样本均值和样本离差阵的矩阵表示：,（3） 样本协差阵,（4） 样本相关阵,-样本相关系数,非负定矩阵,第二节 多元正态分布,1. 多元正态分布
5、,若随机向量 的分布密度函数为,则称 服从p维正态分布。记作： 其数学期望与协方差矩阵分别为：,其中,为对称正定矩阵，,特例1(一元正态分布),则,特例2 (二元正态分布),设,则,2. 多元正态分布的常用性质,1)如果正态随机向量 的协方差阵是对角阵，则X的各分量是相互独立的随机变量。,4) 若 ，则 若 为定值，随着 的变化其轨迹为一椭球面，是 的密度函数的等值面.,3) 多元正态向量 的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。即设 ，而m维随机向量 ，其中 是 mp阶的常数矩阵，b是m维的常向量。则m维随机向量Z也是正态的，且 。即Z遵从m元态分布，其均值向量为 ，协差阵为 。,我们希望求给定
6、 的条件分布，即 的分布。下一个结论指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。,设 p2,将X、和剖分如下：,5）设 ，0，则,分布？,第三节 多元统计中的常用分布,在一元统计中，卡方分布、t分布和F分布在参数估计和假设检验中起着非常重要的作用。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、Hotelling-T2分布和Wilks分布，在多元参数估计和假设检验中占有非常重要的地位。,1、Wishart分布 （1） Wishart分布由Wishart在1928年推导出来。,（2） Wishart分布的性质,2、Hotelling-T2分布,（2） Hotelling-T2分布的性质,3、Wilks分布,多元正态总体下的假设检验问题。,
