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1、第五章 刚体力学基础,Foundation of Rigid Body Mechanics,5-1 刚体的运动,5-2 定轴转动定律,5-3 定轴转动的功和能,5-5 进动,5-4 定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律,5-1 刚体的运动,Motion of a Rigid Body,1.刚体,内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。,刚体是实际物体的一种理想的模型,刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系。,2.1 平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保持方向不变。,特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加速度。,2
2、.刚体的运动,2.2 转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴固定不变，则称为定轴转动。,特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。,3.刚体定轴转动的描述,3.1 定轴转动的角量描述,角位置：,角位移：,角速度：,角加速度：,角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。,角量的单位为rad,rad/s,rad/s2。 质点作匀变速曲线运动时，其角量的变化规律与匀变速直线运动中线量的规律相似，表示如下：,3.2 角量和线量的关系,质元转过的圆弧长：,5-2 定轴转动定律,Law of Fixed-Axis Rotation,1.力对转轴的力矩
3、,力对转轴上参考点O的力矩矢量:,力对转轴的力矩矢量,一般情况,结论：,力对转轴的力矩等于在转动平面内的外力 F 的大小和 F 与轴之间的垂直距离 d 的乘积。,2刚体对转轴的角动量,2.1 质点对转轴的角动量：,质点对转轴上参考点O的角动量矢量:,对转轴的角动量,一般情况,结论：,对转轴的角动量等于在转动平面内的动量p 的大小和 p与轴之间的垂直距离 d 的乘积。,2.2 刚体对转轴的角动量,组成刚体的所有质元对转轴的角动量的和:,刚体对转轴的转动惯量：,刚体对转轴的角动量：,3刚体定轴转动定律,连续体：,4.2 转动惯量的计算,4转动惯量,4.1 转动惯量的物理意义：刚体定轴转动惯性大小
4、的量度。,分立体：,计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,(1) I 与刚体的总质量有关,例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,4转动惯量,(2) I 与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,z,(3) I 与转轴的位置有关,4.3 平行轴定理与垂直轴定理,平行轴定理：,垂直轴定理:,解：（1）对对称轴,例 求质量均匀分布的半圆形薄板对（1）它的对称轴；（2）它的直边；（3）通过质心平行于直边的轴的转动惯量。设圆弧直径为 ，质量为 。,取半
5、圆上 窄条为 。,（2）对直边,设 为整圆对直径的转动惯量。,因 和,故有,（3）对通过C且平行于直边（2）,应用平行轴定理： ，先求质心位置：,5.转动定律的应用,解题要点:,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区别,例,求,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图),圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,例 一个刚体系统，如图所示，,已知，
6、转动惯量,，现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,5-3 定轴转动的功和能,Work and Energy of Fixed Axis Rotation,1.力矩的功和功率,1.1 力矩的功,2.2 力矩的功率,2刚体的转动动能与重力势能,2.1 刚体的转动动能,2.2 刚体的重力势能,3.刚体定轴转动的动能定理,刚体定轴转动时合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量,解：,5-4 定轴转动的角动量定理,与角动量守恒定律,Theorem of Angular
7、 Momentum and Law of Conservation,of Angular Momentum for Fixed Axis Rotation,1.刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,刚体定轴转动的角动量守恒定律,角动量守恒现象举例,例 如图，长为l，质量为M的均匀细棒可饶过O点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为m的质点以初速v0沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上摆。求 （1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度； （2）两者一起上摆的最大角度。,例: 半径R、质量M 的水平均匀圆盘可绕通过圆心的光滑竖直轴自由转动，其边缘有一质量m 的人，二者最初相对地面静止 求: 当人绕盘一周时，盘对地面转过的角度？,解：（人+盘）关于转轴O 的外力矩为零， （人+盘）角动量守恒,5-5 进动,Procession,进动: 高速自旋的物体的自转轴在空间旋进的运动,高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动,陀螺的角动量近似为, 进动角速度,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,homework,练习册：本章选择题及填空题都做 教材课后：5.2, 5.6, 5.7, 5.8, 5.11, 5.15, 5.16, 5.18,
