世纪金榜全程复习

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1、第4讲 万有引力与航天,基础知识梳理,一、开普勒行星运动规律,椭圆,焦点,连线,相等,三次,二次,特别提示：(1)开普勒三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星绕行星的运动 (2)开普勒第三定律中的k是一个与运动天体无关的量，只与被环绕的中心天体有关,适用条件：只适用同一恒星的行星或同一行星的卫星. 即对任何一个恒星（行星）的不同行星（卫星）来说， k值是相同的,课堂练习,1.关于开普勒行星运动的公式 ，以下说法正确的是（ ） A.不同星球的行星或卫星，k值不相等 B.R代表行星自身的半径 C.T表示行星运动的自转周期 D.T表示行星运动的公转周期,D,2.有两个人造地球卫星

2、，它们绕地球运转的轨道半径之比是1：2，则它们绕运转的周期之比为_。,分析与解：它们的运动遵循开普勒第三定律，有：,考点1 万有引力定律,1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向 在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积 _，与它们之间距离r的二次方_. 2.公式：F=_，其中G为引力常量，G=6.67 10-11 Nm2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定.,成正比,成反比,公式推导：,把行星运动近似看成圆周运动，利用向心力公式和开普勒第三定律推导。,3.适用条件：两个_的相互作用. (1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计 算，其中r为_. (2)一个质

3、量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力 也适用，其中r为_.,质点之间,两球心间的距离,质点到球心间的距离,(3)物体不能看为质点时，可以把物体看为无数个细小质点，分别求质点之间的万有引力，再求合力,例:如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是R/2，求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.(用“挖补法”),分析：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的，故可用补偿法，将挖去的球补

4、上.,解析 将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力：,半径为R/2的小球的质量：,补上小球对质点P的引力：,因而挖去小球的阴影部分对质点P的引力：,4.万有引力的特性:,(1)普遍性:普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体间的吸引力.是自然界的基本相互作用之一.,(2)相互性:两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力,符合牛顿第三定律.,(3)宏观性:通常情况下，万有引力非常小,只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的实际意义.,5.引力常量G的测定方法及意义： 卡文迪许扭称实验。 其意义是用实验证明了万有引力的存在，使得万有引力定律有了真正的使用价值。 推动了天文学的发

5、展.,万有引力定律的应用（一）,一、解释万有引力与重力的关系 1万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转所需的向心力F向如图441所示，,图441,某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，某星球的平均密度是多少？,解析：设物体的质量为m，星球的质量为M，半径R；在两极处时物体的重力等于星球对物体的万有引力，即：,在赤道上，因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，有：,由以上两式解得：,又：,星球的平均密度：,例与练,万有

6、引力定律的应用（二）,行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力,表面重力加速度：因 则,轨道上的重力加速度：因 则,二、计算天体的重力加速度问题,注意：轨道向心加速度与天体表面重力加速度是不同的。 在轨道上，轨道向心加速度: (r为轨道半径）,(R为天体的半径),1.解决天体圆周运动问题的两条思路 (1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时， 万有引力等于重力，即 =mg，整理得GM=gR2，称为黄 金代换. (g表示天体表面的重力加速度) (2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即,万有引力定律的应用（三）,三、估算天体的质量和密度,2.天体质量和密度的计算 (1)估算中

7、心天体的质量. 从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r，就可以求出中心天体的质量M. 从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R，就可以求出中心天体的质量M.,(2)估算中心天体的密度. 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由 得 (R0为天体的半径) 若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r=R0，则有,例1.(广东高考，15)已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法: 同步卫星绕地心做圆周

8、运动,由,得,(1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果. (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.,解：（1）上面的结果是错误的地球的半径在计算过程中不能忽略h不能看成轨道半径。正确的解法和结果是：,得：,（2）方法一：对月球绕地球做圆周运动有：,得：,得：,方法二：在地球表面重力近似等于万有引力：,有一宇宙飞船到了某行星的表面附近(该行星没有自转运动)，以速度v绕行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( ) A.该行星的半径为 B.该行星的平均密度为 C.无法测出该行星的质量 D.该行星表面的重力加速度为,ABD

9、,【解析】选A、B、D.由T 可得：R A正确； 由 可得：M C错误；由M R3 得： B正确；由 mg得：g D正确.,天体质量和密度的估算 【例证1】(2011福建高考)“嫦娥二号”是我国月球探测第 二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均 匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G， 半径为R的球体体积公式V= 则可估算月球的( ) A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期,【解题指南】解答本题时可按以下思路分析： (1)利用万有引力提供向心力列式. (2)结合隐含条件r=R和球体体积公式联立求解. 【自主解答】选A.由万有引力提供向心力有 在月球表面轨

10、道有r=R，由球体体积公式V= 联立解得 月球的密度= 故选A.,天体质量和密度的估算 【例证1】(2011福建高考)“嫦娥二号”是我国月球探测第 二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均 匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G， 半径为R的球体体积公式V= 则可估算月球的( ) A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期,A,【总结提升】中心天体的质量和密度的估算方法 (1)测出中心天体表面的重力加速度g，估算天体质量： =mg进而求得 (2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T，估算天体质量： 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r=R， 则,【

11、变式训练】(2011江苏高考)一行星绕恒星做圆周运动. 由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G， 则( ) A.恒星的质量为 B.行星的质量为 C.行星运动的轨道半径为 D.行星运动的加速度为,ACD,【解析】选A、C、D.根据周期公式T= 可得r= C对；根 据向心加速度公式a=v= D对；根据万有引力提供向心 力 可得M= A对，B错.,习1.宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V. 已知该星球的半径为R，引力常量为G ，求该星球的质量M。,解：小球做平抛运动如图，则有：,设该星球某近地卫星质

12、量为m，其重力近似等于万有引力：,由以上两式得该星球的质量：,习2.中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.6710-11N m2/kg2),解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。,解：设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有,由以上各式得,代入数据解得,点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某

13、处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。,=1.271014kg/m3,万有引力定律的应用（四）,四、解释双星、三星的运行,所谓“双星”系统是指由两个星体组成的天体系统，其中，每个星体的线度均小于两个星体之间的距离，同时，双星相距相对较近，且其它天体对此“双星”的万有引力与两星之间的万有引力相比小得多而可忽略。要使两星球不产生沿连线方向的运动，必使两星球沿切线方向做圆周运动。即两星受到彼此之间的万有引力均绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动,两星之间有什么联系？圆心相同，周期、角速度相同， 万有引力大小相等。但轨道半径可以不同。,习.(2006广东高考,17)宇宙中存在一些

14、离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行.设每个星体的质量均为m. （1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期. （2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？,解析：（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：,F1+F2=mv2/R ,运动星体的线速度：,周期为T，则有：,.

15、,(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为,由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供.由力的合成和牛顿运动定律有： ,由式得：,由得：,1.卫星的动力学特征：,所有卫星都是行星给它的万有引力作为向心力，即,千万不要把,h当r,关于人造地球卫星,2.卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系卫星运动学特征 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力， 即由 可推导出：,当r增大时,只要知道卫星的一个运动学量，其它运动学量都能确定。若一个量变化，其它量也变化。,（09年重庆卷）据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200Km和100Km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1700Km） （ ） A、 B、 C、 D、,C,例与练,习1.假如一做圆周运动的人造卫星的轨道半径r增为原来的2倍，则（ ） A据v=r可知，卫星的线速度将变为 原来的2倍 B据F=mv2/r可知，卫星所受的向心力 减为原来的1/2