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1、割补法求多面体体积,天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,D,D1,例1已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。,S,得 SBCD=SABC,故 VABC-A1B1C1=VBCD-B1C1D1,把面ABB1A1看作底面，CC1到面ABB1A1的距离看作高,则平行六面体ABB1A1-CDD1C1的体积为aS,解：过点B作BD AC，连CD，过D作DD1 BB1，连B1D1，C1D1,所以三棱柱VABC-A1B1C1= aS,天马行空官方博客：http:/ ；QQ:13182
2、41189；QQ群：175569632,例1已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。,解：,连CA1,CB1,则VC-A1B1C1= VABC-A1B1C1,又 VC-ABB1A1= aS,所以 VC-ABB1A1= VABC-A1B1C1,所以 VABC-A1B1C1= aS,例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a, 求三棱锥B1-AD1C的体积。,问：ABCD-A1B1C1D1为长方体,AB=4, BC=2,BB1=3 求三棱锥B1-AD1C的体积。,问：四面体ABCD中，三组对棱分别 相等，且分别为BD=
3、AC= , AD=BC = ,AB=CD=5,求三棱锥B-ADC的体积。,G,H,例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离h为2，面EAD面ABCD且EF/AB，EF=3/2，求此多面体体积。,例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离h为2，面EAD面ABCD且EF/AB，EF=3/2，求此多面体体积。,G,问：EF作如图水平移动时，此多面体的体积如何变化？,（三）小结 1、有关的计算公式无法直接运用 2、条件中的已知元素彼此离散 通 过 1、斜棱柱割补成直棱柱； 2、三棱柱补成平行六面体； 3、三棱锥补成长方体或三棱柱或平行六面体； 4、多面体
4、切割成锥体特别是三棱锥。 达 到 1、未知的转化为已知; 2、陌生的转化为熟悉; 3、复杂的转化为简单; 4、离散的转化为集中;,例2:三棱锥P-ABC中，已知PABC,PA=BC=a ,EDPA EDBC,ED=h,求三棱锥的体积。,解：连PD、AD,VP-ABC=VB-PAD+VC-PAD,PA BC,EDBC,PAED=E,BC面PAD,= *SPAD*BD+ *SPAD*CD,= SPAD*BC,= * *PA*ED*BC,= a2h,例2.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF的面积为 S，侧棱长为L,则此三棱柱的体积为多少？,例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长
5、为a，M、N分别是棱AA1、CC1的中点，求点A到面MB1ND的距离。,解:,连MN,则VA-MB1ND=VA-MB1N+VA-MND,又SMB1N=SMND,故 VA-MB1N=VA-MND,所以 VA-MB1ND=2VA-MB1N,又 VA-MB1N=VN-MAB1,设N到面AB1的距离为h,则h=a,易得：SMB1ND= a2,故 点A到面MB1ND的距离 a,故 VN-MAB1= SMAB1*a= a3,故 VA-MB1ND= 2VA-MB1N=2 VN-MAB1= a3,例4.如图所示的容器中，ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离为2，EF/AB，EF=3/2，顶点F、
6、B、C处各有一小孔，若用此容器盛水，最多可盛多少液体？（容器放置方式可调节）,解:当B、F、C所在平面为液面时，盛水最多，由题意，只须求该多面体体积即可。 连FA、FD、DB，则VEF-ABCD=VE-AFD+VF-ABCD 又SBAF=2SAFE 故 VD-BAF=2VD-AFE 又VE-AFD=VD-AFE ,VD-BAF=VF-ABD 故 VEF-ABCD=VD-AFE+VF-ABCD =1/2VD-BAF+VF-ABCD=1/2VF-ABD+VF-ABCD =1/2*1/3*SABD*h+1/3*SABCD*h =1.5+6 =7.5,1.过三棱锥P-ABC的PA,PB,AC的中点,MNTR截面把该 棱锥的体积二等分.,练习：,2.如图正三棱锥S-ABC被平行于底面的平面A1B1C1 所截得的多面体如图，其上下底面边长之比为2:3,连AB1,BC1把这个三棱台分成三个棱锥以C1-A1AB1,C1-ABB1,A-BCC1,求这三个棱锥的体积比。,
