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1、第七章 线性回归与相关,统计学的两个主要内容,参数估计和假设检验 t检验 秩和检验 卡方检验,指标变量之间关系 相关分析 回归分析,学习目标,了解线性回归分析和相关分析的用途。 熟悉线性回归分析和相关分析的基本步骤。 掌握相关系数和回归系数的定义，简单相关分析和回归分析的适用条件。,在医药科学研究中常常要分析两个变量间的关系，如血药浓度和时间、年龄和血压、药片的硬度和药片的消溶速度等。 一般来说，变量之间的关系可分为确定性和不确定性两大类。,确定性的关系:两变量间的函数关系,2,2,2,（举重成绩的比较）,确定性关系与随机关系,确定性的函数关系：两变量间的函数关系 。,随机性的关联关系：两变量
2、在宏观上存在关系，但并未精确到可以用函数关系来表达。,圆的周长与半径的关系： C2R 速度、时间与路程的关系：LST,青少年身高与年龄的关系； 体重与体表面积的关系；,线性相关分析（linear correlation analysis）或简单相关分析(simple correlation analysis) 则是研究2个随机变量间是否有线性联系、联系程度及方向的统计方法。,第一节 直线相关,直线相关 (linear correlation) 描述具有线性关系的两个随机变量间相关方向和密切程度的一种统计分析方法。 相关系数 (correlation coefficient) 描述具有线性关系的
3、两变量间，相关关系的密切程度（大小）和相关方向的指标，总体相关系数用 表示，样本相关系数用r表示。,一、直线相关的概念,散点图能直观地看出两变量间的关系，因此研究两变量的关系应先绘出散点图，而后再确定两者的量化关系。,图9-1 常见的散点图,一、散点图,相关系数的方向示意图,体重(kg)，X,肺 活 量 Y (L),r0,r0,相关系数的大小示意图,r = 1,0 r 1,r = 0,若双变量X与Y均是来自正态总体的随机变量，散点图呈线性趋势，且各观察值相互独立，则两变量之间的相关关系可采用Pearson积矩相关系数表示。,二、相关系数的意义与计算,（1）相关系数是一个无量纲的数值，且-1 1
4、； （2） 0为正相关， 0为负相关； （3） 越接近于1，说明关联程度较高， 越接近于0，说明相关性极弱或无关联。,相关系数的特点,简单相关分析的方法步骤,（一）绘制散点图，看有无线性关系 （二）估计简单相关系数r （三）检验简单相关系数 是否有统计学意义,某实验室检测15名健康成人凝血酶浓度（U/ml）与血液凝固时间（秒）如表7-3.试问凝血时间与凝血酶浓度间是否有线性相关关系存在？,【例7-2】,表7-2 15名健康成人凝血酶浓度与血液凝固时间测定结果,研究目的：凝血酶浓度和凝血时间两定量之间是否存在线性关系，其联系程度如何？,【解析】,（一）绘制散点图,图7-5 凝血酶浓度X与凝血时间
5、Y散点图,从整体趋势而言，随着凝血酶浓度的增加，凝血时间呈降低的趋势，且二者之间存在线性相关关系。,（二）估计简单相关系数r,表明凝血时间与凝血酶浓度可能呈负相关趋势,（三）相关系数的统计推断,由于抽样误差的存在，即使从相关系数=0的总体中随机抽样，所得样本相关系数r也不一定全为0。因此，我们计算出来的样本相关系数未必等于总体相关系数，所以需要对相关系数进行假设检验。 若0，说明X与Y之间有线性关系。 若=0，说明X与Y之间无线性关系，但也可能存在其它相关关系。,的假设检验,H0: =0 H1: 0 0.05,(1)查表法 由前面计算得：样本相关系数r=-0.907; 对给定0.05，自由度n
6、-2=13,有附表11（P391）查临界值r0.05(13)=0.560; 因为 0.9070.560，则P0.05，拒绝H0 ,即认为变量X与Y间的线性相关关系有统计学意义。,P391,(2)t检验,H0: =0 H1: 0 0.05,查t界值表， 按0.05水准，拒绝H0，接受H1，可认为凝血时间的长短与凝血酶浓度呈负相关。,线性相关分析的应用,（一）当两变量有线性趋势时，才能进行线性相关分析。一般应首先利用散点图观察并判断两变量间的关系，根据变量间可能的关系，选择不同的相关分析方法。 （二）相关分析适用于双变量正态分布的资料，否则需进行变量变换或采用其它计算方法，如秩相关。,（三）相关分
7、析适用于两变量均为随机取值的资料，当一个变量的数值人为选定时不能做相关分析。如研究不同温度下兔肺动脉张力，人为选定四个温度16，24，30，37，获得如下资料。,（四）异常点的存在对相关分析往往有影响，要特别注意。,图 9-3 剔除异常值前后的散点图,（五）分层资料盲目合并容易引起假象。,左图显示：合并前，两组数据无相关关系，但合并后呈正相关。 右图显示：合并前，两组数据分别呈正相关，但合并后无相关关系。,相关关系不等于因果关系； 相关分析要有实际意义，两个变量的选择 一定要结合专业背景，不能把毫无关联的两种现象勉强作相关分析。 注意相关关系成立的数据范围；,小 结,小 结,案例 有研究者欲研
8、究某药口服量与血药浓度关系，把口服药物设定为1, 2.5, 5, 7.5, 10, 15, 20, 30等档次，每档各取3只动物（共24只）进行试验，于服药后1 h抽血检验血药浓度。在SPSS中作散点图，计算得口服药物量与血药浓度的Pearson相关系数=0.979，经假设检验P0.001，认为口服药物量与血药浓度呈线性正相关。,请问：本例的两个变量各有何特征？可以计算Pearson相关系数吗？若可以，则计算的方法与步骤有何不妥吗？计算结果正确吗？可以推出本例的结论吗？,案例辨析 本例的重要问题是，线性相关的条件不满足，即口服剂量是人为取定的，属于非随机变量，因此不宜作相关分析。其次，仅利用P
9、earson相关系数与假设检验值就认为两者呈线性正相关为时过早。分析本例的散点图，可发现散点呈曲线形，而非直线型，因此即使口服剂量是随机变量也不宜直接作线性相关分析。第三，研究者取的剂量范围为130，而结论认为口服药物量与血药浓度呈线性正相关，未限定浓度范围，也是不妥的。相关分析很重要的一条就是在多大范围作的研究就在多大范围下结论，因为超过范围很可能结论就不再成立。,第二节 直线回归,对于具有相关关系的变量，虽然不能用精确的函数表达式来表达其关系，但是大量观察数据的分析表明，它们之间存在着一定的相互依存关系。 相关分析是用相关系数来刻画这些变量之间相互依存关系的密切程度； 回归分析从变量的观测
10、数据出发，定量地反映它们之间相互依存关系，判断所建立的回归方程式的有效性，进行预测或估计。,函数关系：它反映着现象之间严格的数量化依存关系，也称确定性的依存关系。如正方形的面积和边长的关系。,回归关系：变量之间存在着不确定、不严格的依存关系，即对于一个变量的某个数值，可以有另一变量的若干数值与之相对应,在这种关系中，对于变量的每一个数值，都有一个或几个确定的值与之严格对应。,回归关系的几个例子,子女身高y与父亲身高x之间的关系 收入水平y与受教育程度x之间的关系 体重y与身高x1 、胸围x2 之间的关系 体表面积y与体重x之间的关系 商品销售额y与广告费支出x之间的关系,回归分析的基本概念,一
11、、简单线性回归（Regression）的意义,简单线性回归是用来分析一个变量（反应变量）如何随另一个变量（解释变量）变化而变化数量关系的一种方法,回归分析（Regression analysis） 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式； 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出具有统计学意义的变量；,自变量与因变量 a)自变量(independent variable)或解释变量： 影响因变量的变量， 一般用X表示 b)因变量(dependent variable)或响应变量： 受其它变量影响的变量，一般用Y表示 通常由给定的x值来对Y值进行推断，故
12、x是给定的、非随机的，Y是随机变量。,直线回归分析的关键就是求出回归方程 中a、b两个常数。由数学知识可知，两点决定一条直线。将容量为n的样本标在(x,y)坐标平面上，可得到n个点。n个点可确定许多直线，到底以哪条线作为回归线呢？直线回归的主要应用是统计预测，即根据实测的X估算Y，当然是希望估算的Y（称为 ）与实测之间的差值（Y ）越小越好。,最小二乘法建立回归方程,故由样本资料决定回归线时，往往用数学上的最小二乘法（least square method）原理求解a和b两个系数（和的点估计值），即在所有直线中找出（残差平方和 ，记为SS残差）达最小值时所对应的直线作为回归线。,最小二乘法建立
13、回归方程,1801年，意大利天文学家朱赛普皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。 高斯使用的最小二乘法的方法发表于 1809年他的著作天体运动论中。,让所有点的 的平方和最小,用最小二乘法拟合直线，选择a和b使其残差（样本点到直线的垂直距离)平方和达到最小。,系数估计公式：,回归方程：,二、回归分析的方法步骤,绘制散点图,求
14、回归系数和常数项,列出回归方程，并进行假设检验,回归方程的解释,例7-1,欲了解急性脑血管病患者血清IL-6与脑脊液IL-6含量之间的关系，某医师随机抽取了该院确诊的10例蛛网膜下腔出血患者，测量24小时内血清IL-6和脑脊液IL-6(pg/ml)，问蛛网膜下腔出血患者脑脊液IL-6含量是否随血清IL-6含量的变化而变化？,表7-1 蛛网膜下腔出血患者血清和脑脊液IL-6(pg-ml)检测结果,（一）散点图,（二） 建立直线回归方程,解 例7-1可知： 由系数求解公式得：,故所求回归方程为： 回归系数b=72.96表示血清IL-6含量每增加一个单位，将会使脑脊液IL-6含量增加72.96ng,
15、表示回归线性模型中的总体回归系数 参数的意义：若自变量X增加1个单位，反应变量Y的平均值便增加个单位。 =0，说明Y与X之间并不存在线性关系； 0，说明Y与X之间存在线性关系。 理由：从=0的总体抽得样本，计算出的回归系数b很可能不为零。,总体回归系数的统计推断,t检验,式7-7,式7-8,式7-6,三、直线回归分析的统计推断,目的：检验求得的回归方程在总体中是否成立； 方法：单因素方差分析。,变异的分解：,回归方程假设检验的步骤,(1) 建立假设H0:=0(方程无统计学意义） (2)计算lxx、lxy、lyy，再计算SS回归、SS残差的值： (3)计算检验统计量的F值：,(4) 对给定检验水
16、准，查F分布表(附表4)，得临界值F(1,n-2)； (5)统计判断：FF时，则P，不拒绝H0,例7-1,对例7-1中数据，试检验Y对x的线性回归方程的统计学意义。（=0.05） 查F分布表，得临界值F0.05(1,8)=5.32，因FF , 则P0.05,拒绝H0，认为方程有统计学意义。,方差分析表,决定系数,描述回归拟合效果 取值01之间，取值说明在Y的总变异中回归关系能解释的比例。 本例：,说明SAH患者脑脊液IL-6含量52.31%的变异 与血清IL-6有关。,四、线性回归分析的前提条件,回归模型的基本假设,1.线性（linear) 2.独立（independent) 3.正态 (normal) 4.等方差（equal variance),线性（linear)指反应变量Y的总
