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1、, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第二十二讲 定积分的概念,教案制作：易学军,主讲教师：易学军,第五章 一元函数的积分,本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理
2、量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。,第五章 一元函数的积分,第一节 定积分的概念和性质,二. 定积分的定义,一. 引例,三. 定积分的性质,曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.,1. 曲边梯形,引例1. 曲边梯形的面积,2. 求曲边梯形的面积,首先，我们利用以下的的做法： 分割近似求和 得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.,任意引入分点
3、,称为区间的一个分法 T,对每个小曲边梯形均作上述的代替,引例2. 变速直线运动的路程,0,a,b,t,ti,ti1,已知质点的运动速度v=v(t). 求在时间段a, b内运动的路程s.,匀速运动： 距离速度时间,(1)分割：,任取分点:,a = t0 t1 ti1 t i tn=b,分割a, b得: ti1, ti (i=1, 2, n),且记：ti = ti ti1,(2) 近似：,任取 i ti1, ti ,(3)求和:,(4) 取极限：,1in,i,作,二. 定积分的定义,任意引入分点,定积分符号：,关于定积分定义的几点说明,由极限保号性：,面积：,例1.,例2.,显然,定理 1,定理 2,定理 3,定理 4,定理 5,三. 定积分的性质,规定,又有,下面的讨论假设所列积分均存在.,证,由定积分定义及极限运算性质：,证,(小于零的情形类似. ),由极限的保号性立即可知.,证,/,证,证,所以,x,0,y,M,m,x,0,y,x,0,y,a,b,a,b,y=f (x),a,b,证,解,由积分中值定理,等价无穷小,思考题： 估计 的值。 求 的值 。,作业 2，5，6，7,
