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1、第三讲平面向量年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018卷向量的线性运算T61.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第37题或第1315题的位置上，难度较低主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等.卷数量积的运算T4卷向量共线的坐标运算及应用T132017卷向量的模的求法T13卷数量积的最值问题T12卷平面向量基本定理及最值问题T122016卷向量数量积的坐标运算T13卷向量坐标运算、数量积与向量垂直T3卷数量积求夹角T3平面向量的概念及线性运算授
2、课提示：对应学生用书第25页悟通方法结论如图，A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数，使得(1).该结论比较典型，由此可知：若A，B，C三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在R，使得(1).注意：这里，的系数之和等于1.特殊情形：若点C为线段AB的中点，则()全练快速解答1(2018高考全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A.B.C.D.解析：作出示意图如图所示()().故选A.答案：A2如图，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A1B2C3D4解析：根据图形，由题意可得()()().因为rs，所以
3、r，s，则2r3s123，故选C.答案：C3(2018西安三模)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0，)，则动点P的轨迹一定经过ABC的()A外心B内心C重心D垂心解析：设BC的中点为D，则由()，可得()2，所以点P在ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过ABC的重心故选C.答案：C4(2018高考全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.解析：2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得.答案：1记牢2个常用结论(1)ABC中，AD是BC边上的中线，则()(2)ABC中，O是ABC内一点，若0，则
4、O是ABC的重心2掌握用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第25页悟通方法结论1平面向量的数量积运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化2夹角公式cos .3模|a
5、|.4向量a与b垂直ab0.全练快速解答1(2017高考全国卷)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()AabB|a|b|CabD|a|b|解析：依题意得(ab)2(ab)20，即4ab0，ab，选A.答案：A2(2018西安八校联考)在ABC中，已知，|3，|3，M，N分别是BC边上的三等分点，则的值是()A. B. C6 D7解析：不妨设，所以()()()(3232)，故选B.答案：B3(2018山西四校联考)已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为()A.B.C.D.解析：a(ab)，a(ab)a2ab1cosa，b0，cosa，b，a，b.答案：B4(2018合肥
6、一模)已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，|ab|，则a在b方向上的投影等于_解析：|a|1，|b|2，|ab|，(ab)2|a|2|b|22ab52ab3，ab1，a在b方向上的投影为.答案：快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零2看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式.避误区两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.平面向量在几何中的应用授课提示：对应学生用书第26页悟通方法结论破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把
7、平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解(1)(2017高考全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BCD1解析：如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x222，当x0，y时，()取得最小值，为，选择B.答案：B(2)(20
8、17高考全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若 ，则的最大值为()A3B2C.D2解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1，2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距离为，圆C：(x1)2(y2)2，因为P在圆C上，所以P，(1,0)，(0,2)， (，2)，所以2cos sin 2sin()3，tan 2，选A.答案：A数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围(2)目标函数法：将数量积表示
9、为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围练通即学即用1(2018南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DAAB1，BC2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则的取值范围是()ABC1,1D1,0解析：在直角梯形ABCD中，DAAB1，BC2，BD.如图所示，过点A作AOBD，垂足为O，则，0，().当点P与点B重合时，取得最大值，即1；当点P与点D重合时，取得最小值，即1.的取值范围是1,1答案：C2(2018辽宁五校联考)一条动直线l与抛物线C：x24y相交于A，B两点，O为坐标原点，若2，则()24的最大值为()A24B16C8D1
10、6解析：由2知G是线段AB的中点，()，()24()2()24.由A，B是动直线l与抛物线C：x24y的交点，不妨设A(x1，)，B(x2，)，44(x1x2)4(2)24164(2)216，即()242的最大值为16，故选B.答案：B授课提示：对应学生用书第126页一、选择题1(2018郑州一模)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60，则|a3b|等于()A.B.C.D4解析：依题意得ab，|a3b|，故选C.答案：C2(2018石家庄模拟)在ABC中，点D在边AB上，且，设a，b，则()A.abB.abC.abD.ab解析：()ba，故选B.答案：B3设向量a(1，m)，b(m1,
11、2)，且ab，若(ab)a，则实数m()A.B.C1D2解析：因为a(1，m)，b(m1,2)，且ab，所以ab(1，m)(m1,2)(2m，m2)，又(ab)a，所以(ab)a0，可得(2m)1m(m2)0，解得m1或m2.当m2时，ab，不符合题意，舍去，故选C.答案：C4(2018南宁模拟)已知O是ABC内一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为()A.B.C.D.解析：0，O是ABC的重心，于是SOBCSABC.2，|cosBAC2，BAC60，|4.又SABC|sinBAC，OBC的面积为，故选A.答案：A5(2018沈阳模拟)已知平面向量a(2，x)，b(1，)，且(ab)b，则
12、实数x的值为()A2B2C4D6解析：由(ab)b，得(ab)b0，即(3，x)(1，)3x30，即x6，解得x2，故选B.答案：B6(2018洛阳模拟)已知向量a(m,2)，b(3，6)，若|ab|ab|，则实数m的值是()A4B1C1D4解析：由|ab|ab|，两边平方整理得ab0，即3m120，故m4，故选D.答案：D7已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1B2C.D.解析：因为|a|b|1，ab0，(ac)(bc)c(ab)|c|2|c|ab|cos |c|20，其中为c与ab的夹角，所以|c|ab|cos cos ，所以|c|的最大值是.答案：C8(2018抚州二模)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且ca1，cb1，|c|，则对任意的正实数t，的最小值是()A2B2C4D4解析：2c2t2a2b22taccb2ab2t
