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1、一、选择题1中国古代数学名著九章算术第五章“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示(其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺)，则该几何体的体积为()A3 795 000立方尺B2 024 000立方尺C632 500立方尺D1 897 500立方尺解析：由三视图可知该几何体是一个水平放置的底面是等腰梯形的四棱柱，其体积V(2040)501 2651 897 500(立方尺)，故选D.答案：D2中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一
2、个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是()A110B116C118D120解析：如图，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10315.棱柱的高为8，体积V158120.答案：D3.中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑如图为一
3、个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥PADE为鳖臑，且PA平面ABCE，ADAB2，ED1，若该鳖臑的外接球的表面积为9，则该阳马的外接球的体积为()A2B3C4D4解析：由题意得三棱锥PADE中，EDDA，又PA平面ABCE，所以其外接球的直径2rPE，设PAx，则2r，则其外接球的表面积S4r2(x25)9，解得x2.阳马四棱锥PABCD的外接球的直径为PC，即2RPC2，所以R，故其外接球的体积VR3()34，故选D.答案：D4.九章算术商功：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的直棱柱如图所示的几何体是一个
4、“堑堵”，ABBC4，AA15，M是A1C1的中点，过B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为()A40B50C25153D30203解析：如图，设A1B1的中点为N，连接MN，BN，则MNBC，所以过B，C，M的平面为平面BNMC，所求三棱台为A1MNACB，所以其表面积为SABCSA1NMS梯形AA1MCS梯形AA1NBS梯形MNBC4422(24)5(42)5(24)25153.答案：C5中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之，六而一”其计算方法
5、是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为()A.B.C39D.解析：设下底面的长为x(x9)，则下底面的宽为9x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V3(32x)2(2x3)(9x)x2，故当x时，体积取得最大值，最大值为()2.故选B.答案：B6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面正三角形的边长为a，侧棱长为b，且ab0，点
6、D是四边形BB1C1C的两条对角线的交点，则当直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值取得最小值时，正三棱柱ABCA1B1C1的体积是()A.a3B.a3C.a3D.a3解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE.过点E作EFAB于点F，过点D作DGEF交平面ABB1A1于点G，连接AG，FG，AE.易知DE是BCB1的中位线，所以DEBB1.因为平面ABB1A1平面ABC，平面ABB1A1平面ABCAB，EFAB，所以EF平面ABB1A1.又DGEF，所以DG平面ABB1A1.则DAG是直线AD与侧面ABB1A1所成的角因为DEBB1，DE平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以DE平面
7、ABB1A1.因为平面DEFG平面ABB1A1FG，所以DEFG，又DGEF，所以四边形DEFG是平行四边形所以GDEFsin 60ACa，FBcos 60ACa，所以AFa.又FGDECC1b，所以AG.在RtDAG中，tanDAG，因为ab0，所以b2a2，得01，所以tanDAG，当且仅当ab时取等号，故直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是，此时正三棱柱ABCA1B1C1的体积Vaaaa3.故选A.答案：A二、填空题7在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体ABCD为鳖臑，AB平面BCD，且ABBCCD，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为_解析：四面
8、体ABCD为鳖臑，则由题意可知BCD中只能BCD为直角，则四面体ABCD的体积为CDCDCD，解得CD4.易知外接球的球心为AD的中点，易求得AD2，所以球的半径为，所以球的表面积为56.答案：568如图，已知在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，底面ABCD是边长为4的正方形，M，N分别是AB，AD上的动点，E为MN上一点，满足MN平面PAE，且PEAE，则PMN的面积的最小值是_解析：MN平面PAE，PE平面PAE，MNPE，MNAE，又PEAE，SPMNSAMN，则求PMN的面积的最小值转化为求AMN的面积的最小值PA底面ABCD，PAAE，又PEAE，APE，则AE2.设AM
9、m，ANn，则在RtAMN中，AMANAEMN，即mn22，mn16，当且仅当mn4时等号成立，SPMNSAMN168.答案：89有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是顶角的余弦值为0.5的等腰三角形在容器内放一个半径为r的铁球，并注水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为_解析：如图所示，作出轴截面，因轴截面是顶角的余弦值为0.5的等腰三角形，所以顶角为60，所以该轴截面为正三角形根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面所在圆的半径为r，则容器内水的体积V(r)23rr3r3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积V2hh3，由VV，
10、得hr，所以这时容器中水的深度为r.答案：r10如图，在边长为2的正方形ABCD中，圆心为B，半径为r(0r2)的圆与AB、BC分别交于E、F两点，且sinCDF，则阴影部分绕直线BC旋转一周后形成的几何体的表面积为_解析：由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线BC旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥，其表面为阴影部分的边界线绕BC旋转一周后形成的图形在RtDCF中，由sinCDF可得tanCDF，故CFCD1，所以BFBE1.线段AD绕直线BC旋转一周后形成圆柱的侧面，该圆柱的底面半径为2，母线长为2，故该圆柱的侧面积S12228；线段AE绕直线BC旋转一周后形成一个圆环，大圆的
11、半径为2，小圆的半径为1，故该圆环的面积S222123；圆弧绕直线BC旋转一周后形成一个半球面，所在球的半径为1，故其表面积S34122；线段DF绕直线BC旋转一周后形成一个圆锥的侧面，圆锥的底面半径为2，母线长为，故其表面积S422.所以阴影部分绕直线BC旋转一周后形成的几何体的表面积SS1S2S3S48322(132).答案：(132)三、解答题11现需设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2
12、)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解析：(1)由PO12知O1O4PO18.因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h.连接O1B1.因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)，0h6，于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6.从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2
13、或h2(舍)当0h2时，V0，V是单调递增函数；当2h6时，V0，V是单调递减函数故当h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12m时，仓库的容积最大12如图，已知异面直线a，b成60角，其公垂线段(指与a，b直线垂直相交的线段)EF2，长为4的线段AB的两端点A，B分别在直线a，b上运动(1)指出AB中点P的轨迹所在位置；(2)求AB中点P的轨迹所在的曲线方程解析：(1)设EF的中点O，而P为AB的中点，故O，P在EF的中垂面上，从而P点轨迹在EF的中垂面上(2)设A，B在面上的射影为C，D，则由APPB2，ACBD1，得CD2.因为aOC，bOD，所以COD60.在平面内，以O为原点，COD的角平分线为x轴的正半轴建立直角坐标系如图设C点的坐标为(t1，t1)，D点坐标为(t2，t2)，则P点坐标(x，y)满足因为CD2，所以(t1t2)2(t1t2)212.所以y21，故P点轨迹在EF的中垂面上，且轨迹为椭圆
