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1、第三讲圆锥曲线的综合应用年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷直线与抛物线的位置关系及证明问题T20命题分析解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解学科素养解析几何综合问题主要利用直线与圆锥曲线的位置关系考查最值范围，定点定值及探索性问题，着重考查学生数学抽象、数学建模、逻辑推理及数学运算等核心素养.卷直线与椭圆的位置关系及证明问题T20201
2、7卷直线与抛物线的位置关系及应用T20卷动点轨迹方程求法及直线过程定点的证明T202016卷直线与抛物线的位置关系、存在性问题T20卷直线与椭圆的位置关系、面积问题及证明问题T21卷直线与抛物线的位置关系、证明问题及轨迹方程的求法T20第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题最值问题授课提示：对应学生用书第47页悟通方法结论求解圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解(2017高考浙江卷)(12分)如图，
3、已知抛物线x2y，点上的点P(x，y)过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求的最大值学审题条件信息想到方法注意什么信息中已知A，P坐标利用斜率公式表示kAP并消去yx的范围信息中|PA|PQ|利用弦长公式表示出|PA|PQ|Q点坐标的求法规范解答(1)设直线AP的斜率为k，kx， (2分)因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1) (4分)(2)联立直线AP与BQ的方程 (6分)解得点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)， (8分)|PQ|(xQx).所以|PA|PQ|(k1)(k1)3. (10分)令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)
4、(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|PA|PQ|取得最大值. (12分)【类题通法】1几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来解决，这是几何法，充分体现了数形结合思想2代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最值的常见方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等充分体现了函数与方程思想练通即学即用(2018沈阳模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1，)在椭圆上，且有|PF1|PF2|2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l与椭圆C交于A，B两
5、点，求AOB(O为坐标原点)面积的最大值解析：(1)由|PF1|PF2|2，得2a2，a.将P(1，)代入1，得b21.椭圆C的标准方程为y21.(2)由已知，直线l的斜率为零时，不合题意，设直线l的方程为x1my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得消去x化简整理得(m22)y22my10，由根与系数的关系，得SAOB|OF2|y1y2|，当且仅当m21，即m0时，等号成立，AOB面积的最大值为.范围问题授课提示：对应学生用书第48页悟通方法结论圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思路是建立目标函数和不等关系(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表
6、达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理(2018广东五校联考)(12分)已知椭圆C：1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构直线xy10与以椭圆C.(1)求椭圆C的方程；(2) 两点S和T，若椭圆C上存在点P满足 (其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围学审题条件信息想到方法注意什么信息中构成等腰直角三角形bc，ac注意短半轴与半焦距的关系信息中直线与圆相切想到圆心到xy10的距离da点到直线距离公式信息中直线与椭圆交于两点设出直线方程联立，消元0判断l的斜率是否存在信息中t向量式子坐标化建立S、T、P三点坐标间关系规范解答(1)由题意，
7、以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(xc)2y2a2，圆心到直线xy10的距离 da.(*) (2分)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc，ac，代入(*)式得bc1，ac， (4分)故所求椭圆方程为y21. (5分)(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，设P(x0，y0)，将直线l的方程代入椭圆方程得(12k2)x28k2x8k220，64k44(12k2)(8k22)0，解得k2. (7分)设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x24).由t，得tx0x1x2，ty0y1y2，
8、(9分)当t0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足t，符合题意；当t0时，x0，y0. (11分)将上式代入椭圆方程得1，整理得t2，由k2知，0t24，所以t(2,0)(0,2)，综上可得，实数t的取值范围是(2,2) (12分)【类题通法】圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示
9、为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围练通即学即用(2018长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且经过点E(，)(1)求椭圆C的方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若，且23，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立方程，得整理得(4)y2y90，1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，则，2，因为23，所以2，即，且k0，解得0k.故直线l的斜率k的取值范围是(0
10、，证明问题授课提示：对应学生用书第49页悟通方法结论圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力(2017高考北京卷)(12分)已知抛物线C：y22px 过点作直线l与抛物线C交于不过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：学审题条件信息想到方法注意什么信息抛物线过点P将P点坐标代入方程求焦点坐标与准线方程时注意规范信息中l与抛物线相交设出l的方程联立消元求出交点坐标判断l的斜率存在且k0信息中A为线段BM的中点利用中点公式进
11、行证明先表示B点坐标化简目标要明确规范解答(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p， (2分)所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x. (4分)(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得4k2x2(4k4)x10.则x1x2，x1x2. (6分)因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为. (8分)因为y12x10，所以y12x1.故A为线段BM的中点 (12分)【类题通法】圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆
12、锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明练通即学即用(2018高考全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解析：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2
13、，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.授课提示：对应学生用书第132页1(2018成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线ykx2(0k2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且，求实数的取值范围解析：(1)设C(x，y)由题意，可得2(x1)，曲线E的方程为x21(x1)(2)设R(x1，y1)，Q(x2，
