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1、解析几何综合题的解法,杨树芳 中学高级教师,一、四大能力,1、阅读理解能力。 2、推理论证能力。 3、计算能力。 4、创新能力。,题型1：由曲线的相关性质求曲线的方程。 （轨迹方程）,题型2：由曲线的方程研究曲线的性质： （1）最值问题。 （2）定值问题。 （3）参数的取值范围。 （4）证明题。,常用的数学思想与数学方法：,1、函数与方程的思想。 2、分类讨论的思想。 3、数形结合的思想。 4、转化的思想。 5、整体的思想。,例1,已知椭圆,与直线x+y=1相交于两点P、Q且OP OQ（O为原点）,（1）求证：,为定值。,（2）若椭圆的离心率在 ， 上变化，求椭圆长轴的取值范围。,P,Q,O,
2、（1）解法 ,设P（x1,y1)，Q(x2,y2）, OP OQ ,解法,x+y=1 (x+y)2=1,即,K1K2=-1 ,你能否猜出这个定值？,例2：,已知动圆C与定圆x2+y2=1及直线x=3都相切。求圆心C到点P（ m,0）距离的最小值。,当,当,(x=m+2),(x=1),综上：,（2）当两圆外切时，|CO|=R+1=|CM|+1,动点C到定点O与到定直线x=4的距离相等，即C点的轨迹方程是：y2=-8(x-2) (x2) |cp|2=(x-m)2+y2=(x-m)2-8x+16 =x-(m+4)2-8m (x2),例3,如图： 已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a1)
3、上支顶点为A，上支与直线y=-x交于点P，以A 为焦点，M（0，m）为顶点且开口向下的抛物线过P点。设直线PM的斜率为k，当 时，求a的取值范围。, A为抛物线的焦点，M为其顶点， 抛物线的方程可设为：x2=-4(m-1)(y-m) ,P在抛物线上 a2=-4(m-1)(a-m)。,转化为此方程在 上有根的条件。,解法 由4ak2+4(a-1)k-a=0，解出,例4：,y,如图：点M在定直线x=-p(p0)上移动，动点N在线段MO的延长线上， 且满足,（1）求动点N的轨迹方程。 （2）说明N点的轨迹是什么曲线。 （3）当P=1时，求|MN|的最小值。,解法（1）, ,又 M，O，N三点共线,代
4、入 得,N点的轨迹方程是：(p2-1)x2+p2y2-2px-p2=0，（x0）,（p0),设N（x，y）,M（-p，t），代入已知条件：,解法（2）,由已知得：,设线段MN与x轴的夹角为,x,y,以下同上,（2）I当p=1时：N点的轨迹方程为,表示顶点为 开口向右在y轴右侧的抛物线。,II当P 1时，轨迹方程为,当p1时，表示椭圆在y轴右侧的部分。,当0P1时，表示双曲线在y轴右侧的部分。,（3）当p=1时轨迹方程为：y2=2x+1 (x0),当x=1时|MN|min=4,例5：,设椭圆,过原点且倾斜角为和,和椭圆E相交于A,B和C，D,(1)、试用m，n， 表示四边形ABCD的面积S。,的
5、两条直线,解: (1)如图，设A(x，y)，由对称性可知：S=4xy，k=tg 设AC的方程为y=kx,即0k1,当( mn0 )时，T2mnmn显然成立。此时,当( nm0 )时,例6：,已知椭圆,和直线L: (k3)x(2k-1)y+2k-1=0 。,(1)、求证：无论k取何实数，直线与椭圆都有两 个不相同的交点。,(2)、若直线与椭圆相交于A,B两点，且,，求k的值。,解: (1)解法当,L:x=0与椭圆有两个不同的交点。,解法直线L：k(x-2y+2)+3x+y-1=0对任意k恒成立，则,直线过点F（0，1）， 而F在椭圆内，,直线与椭圆总有两个不同交点。,(2) 定点F(0,1)恰为椭圆的焦点,设AB的方程为,例7： 已知直线L过定点（3，0），倾斜角为，试求的值，使得抛物线C：yx2的所有弦都不能被直线L垂直平分。,先求存在能够被L垂直平分的弦时， 的取值范围。,（1）当=0o， =90o时，抛物线的所有弦都能不被直线L所平分。,（2）当0o， 90o时，设L：y=k（x3）， k=tg ,若弦AB能被L垂直平分，AB:,则A,B的中点,又C在L上，,代入得,12k32k210, 即,(2k+1)(6k22k+1)0, (6k22k+1)恒正，2k10,则不能被L垂直平分，,解法（2）：设A(x1，y1),B(x2,y2)则，,以下同上，（略）,
