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1、基础过关1.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c2=4absin2C.(1)求sin Asin B的值;(2)若A=6,a=3,求c的值.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bc,a=6,b=5,且ABC的面积为9.(1)求cos C的值;(2)求c及sin B的值.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2A=-13,c=3,sin A=6sin C,且A为锐角.(1)求sin A与a的值;(2)求b的值及ABC的面积.4.已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin(A+B)sinA+sinB=
2、a-ba-c.(1)求B;(2)若b=3,求ABC的面积S的最大值.能力提升5.已知锐角ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,sinB-sinAsinC=b-ca+b.(1)求角A的大小;(2)求b+c的取值范围.6.已知在ABC中,BC边上一点D满足ABAD,且AD=3DC.(1)若BD=2DC=2,求AC的值;(2)若AB=AC,求sin B.限时集训(九) 基础过关1.解:(1)c2=4absin2C,由正弦定理得,sin2C=4sin Asin Bsin2C,又ABC中,sin C0,sin Asin B=14.(2)当A=6时,sin A=12,又sin Asin
3、 B=14,sin B=12.A+Bc,所以C0,2,所以cos C=45.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=62+52-26545=13,所以c=13.又因为b=5,sin C=35,所以由正弦定理得sin B=bsinCc=31313.3.解:(1)因为c=3,sin A=6sin C,所以由正弦定理得a6sinC=3sinC,解得a=32.因为cos 2A=2cos2A-1=-13,又因为A为锐角,所以cos A=33,所以sin A=63.(2)因为b2+c2-a2=2bcos A,所以b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍去),所以SABC=12bcsin
4、 A=125363=522.4.解:(1)因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin(A+B)sinA+sinB=sinCsinA+sinB=a-ba-c,由正弦定理得ca+b=a-ba-c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=12,又因为B(0,),所以B=3.(2)因为b2=a2+c2-2accos B2ac-ac=ac,当且仅当a=c时取等号,所以ac3,所以S=12acsin B=34ac334,所以S的最大值为334. 能力提升5.解:(1)由sinB-sinAsinC=b-ca+b及正弦定理得(b-a)(
5、b+a)=(b-c)c,所以bc=b2+c2-a2,所以cos A=12,因为A0,2,所以A=3.(2)因为a=3,A=3,所以bsinB=csinC=asinA=3sin3=2,所以b+c=2(sin B+sin C)=2sin B+sin23-B=23cosB-3.因为ABC为锐角三角形,所以B6,2,则B-3-6,6,所以cosB-332,1,所以b+c(3,23.6.解:(1)AD=3DC,BD=2DC=2,AD=3,DC=1,BC=BD+DC=3.ABAD,在RtABD中,sinABD=ADBD=32,又ABD(0,90),ABD=60,AB=1.在ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=1+9-2312=7,AC=7.(2)在ACD中,由正弦定理得ADsinC=DCsinDAC,AD=3DC,3sinC=1sinDAC.AB=AC,B=C,BAC=180-2B.BAD=90,DAC=BAC-BAD=180-2B-90=90-2B,3sinB=1sin(90-2B),3sinB=1cos2B,化简得23sin2B+sin B-3=0,即(3sin B-1)(2sin B+3)=0.B(0,180),sin B0,sin B=33.
