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1、第10题 函数的最值与值域I题源探究黄金母题【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值【答案】【解析】设是上的任意两个实数，且，则由，得，所以，即，故在区间上是增函数因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第31页例4改编【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等II考场精彩真题回放【例1】
2、【2018高考天津文14】已知，函数若对任意恒成立，则的取值范围是_【答案】 【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果试题解析：分类讨论：当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，则；当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，则综合可得的取值范围是【例2】【2018高考江苏17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成已知圆的半径为40米，点到的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线
3、段上，均在圆弧上设与所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【考点分析】本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分14分【答案】（1）矩形的面积为平方米，的面积为的取值范围是；（2）当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】试题分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件
4、列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法试题解析：（1）连结并延长交于，则，过作于，则，则矩形的面积为，的面积为过作，分别交圆弧和的延长线于和，则令，则当时，才能作出满足条件的矩形，的取值范围是答：矩形的面积为平方米，的面积为的取值范围是（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为，设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为设，则令，得，当时，为增函数；当时，为减函数，因此，当时，取到最大值答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【例3】【2017浙江卷5】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M mA与a有关，且
5、与b有关 B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B【例4】【2017浙江卷17】已知R，函数在区间1，4上的最大值是5，则的取值范围是_【答案】【解析】，分类讨论：当时，函数的最大值，舍去；当时，此时命题成立；当时，则：或：，解得：或综上可得，实数的取值范围是【例5】【2017北京卷】已知，且x+y=1，则的取值范围是_【答案】【解析】，所以当时，取最大值1；当时，取最小值；因此取值范围为【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选
6、择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇【难点中心】求函数最值（值域）通性通法：（1）观察法；（2）利用常见函数的最值（值域）；（3）分离常数法；（4）单调性法；（5）换元法；（6）配方法；（7）基本不等式法；（8）判别式法；（9）有界性法；（10）图象法；（11）导数法III理论基础解题原理一、函数的最值的基本概念设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最大值(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最小值二、函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定
7、存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的【
8、易错指导】（1）灵活选择最优方法求函数值域（最值）；（2）求函数的值域不但要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用；（3）使用基本不等式容易忽视“一正、二定、三相等”；（4）配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；（5）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性；（6）使用单调性法要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；（7）导数法求函数在上的最大值和最小值3步骤求函数在内的极值； 求函数在区间端点的函数值；将函数的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值V举一反三触类旁通考向1 观察法解题模板：第一步，观察函数
9、中的特殊函数；第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域【例1】【2018山西榆社中学11月月考】函数的值域为_【答案】【解析】由可得，故函数的值域为【跟踪练习】1求函数的值域 2【2018广东七校联考】设函数的最大值为M，最小值为，则的值为A B C D【答案】A【解析】试题分析：化简，设，根据奇函数的性质，即可求出，代值计算即可试题解析：由已知，令，易知为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为，=，故选【名师点睛】本题考查了函数解析式的变形及单调性与最值的关系，属于中档题3若函数在区间上的值域为，则的值是_【答案】 考向2 分离常数法解题模板：第一步，观察函数
10、类型，型如； 第二步，对函数变形成形式； 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域【例2】求函数的值域【跟踪训练】求函数的值域 考向3 单调性法解题模板：第一步，求出函数的单调性； 第二步，利用函数的单调性求出函数的值域【例3】求函数的值域 【例4】求函数的值域 【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性【例5】【2018湖南岳阳一中一模】若函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）A B C D【答案】B 【名师点睛】本题主要考查了函数
11、值的求解，解答中利用换元法，得到新函数，利用新函数的单调性，求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力【例6】函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为( )A1e B1 Ce D0【答案B 【例7】【2018福建龙岩模拟】函数在区间上的最大值为_【答案】8【解析】由函数的解析式可知函数是定义在区间上的单调递减函数，则函数的最大值为： 【跟踪练习】1【2018百校联盟TOP20四月联考】若的最小值与（）的最大值相等，则的值为（ ）A1 B C2 D【答案】C 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求
12、解能力2【2018山西一模】若对于，且，都有，则的最大值是（ ）A B C D【答案】C【解析】，等价于，则，令，则，又，在上为增函数，由，得，故选C【名师点睛】本题解题的关键是构造函数，根据不等关系进行合理变形，两个变量分别移到不等式的两侧，从而易构建新函数，问题转化为新函数的单调性问题 3【2018江苏清江中学调研】函数（）的值域是_【答案】【解析】试题分析：根据函数的单调性，判定在时的单调性，从而求出函数的值域试题解析：对数函数在上为单调增函数，在上为单调减函数，时，函数（）的值域是，故答案为【名师点睛】本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，
13、从而求出值域来，是基础题4【2018滨州质检】对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_【答案】1 5求函数的值域 考向4 配方法解题模板：第一步，将二次函数配方成； 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域【例8】求函数的值域 【例9】【2018上海浦东新区三模】的值域是_【答案】【解析】试题分析：利用换元法，通过化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值，得到函数的值域即可试题解析：令，则令，则，或，所以值域为，故答案为【名师点睛】求最值的常见方法有配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方
14、法求函数求最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；不等式法：借助于基本不等式 求函数的最值，用不等式法求最值时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值，图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值【跟踪练习】1已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x，当x1，4时，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；【答案】0，2 2函数的值域为 【答案】【解析】由题意得，函数的定义域为，所以，所以
