《高中数学北师大必修1学案：第四章 4.2 实际问题的函数建模 ---精校解析 Word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大必修1学案：第四章 4.2 实际问题的函数建模 ---精校解析 Word版（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、核心必知1实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容2用函数模型解决实际问题(1)数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合(2)常用到的五种函数模型：直线模型：一次函数模型ykxb(k0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k0)，通过图像可以直观地认识它，特
2、例是正比例函数模型ykx(k0)反比例函数模型：y(k0)型，增长特点是y随x的增大而减小 指数函数模型：yabxc(b0，且b1，a0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b1，a0)，常形象地称为指数爆炸对数函数模型，即ymlogaxn(a0，a1，m0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a1，m0)幂函数模型，即yaxnb(a0)型，其中最常见的是二次函数模型：yax2bxc(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a0)在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际
3、问题结合，如取整等3函数建模(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模(2)过程：如下图所示问题思考1用水清洗一堆蔬菜上残留的农药对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)试规定f(0)的值，并解释f(0)的实际意义提示：f(0)1，表示没用清水清洗时，蔬菜上的农药将保持原样2某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映
4、该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用常用五种函数模型中的哪种？提示：对数型函数3今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是下列四个函数中的哪个？ulog2t；u2t2；u；u2t2.提示：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它散点图如图所示，由散点图可知，图像不是直线，排除项；图像不符合对数函数的图像特征，排除项；当t3时，2t22326，4，由表格知当t3时，u4.04，模型u能较好地体现这些数据关系讲一讲1.某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间
5、t(tN)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(tN)(天)之间的关系如下表：第t天5152030Q件35252010(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额每件的销售价格日销售量)尝试解答(1)由已知可得：P(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Qt40(0t30，tN)(3)由题意y当0t25，t10时，ymax900，当25t30，t25时，ymax(2570
6、)29001 125，故当t25时，日销售金额最大且最大值为1 125元在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型练一练1甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？
7、说明理由；(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？解：(1)由图可知，直线y甲kxb经过(1,1)和(6,2)，可求得k0.2，b0.8.y甲0.2(x4)同理可得y乙4.故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为261.231.2(万只)；(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；(3)设第x年规模最大，即求y甲y乙0.2(x4)40.8x23.6x27.2的最大值函数图像对称轴为x2， 因为xN，当x2时，y甲y乙31.2，即第二年规模最大，为31.2万只讲一讲2我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁
8、燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？尝试解答(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，可得05log2，解得Q10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入所给公式，得v5log25log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：(1)解函数关系已知的应用题确定函数关系式yf(x)中的参数，求出具体的函数解析式yf(x)；讨论x与y的对应关系，针对具体的函
9、数去讨论与题目有关的问题；给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案(2)解函数关系未知的应用题阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解练一练2某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个
10、；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价为x元时，每日利润为y元，当18x30(当提价12元时销售量为零，故x30)时，有y605(x18)(x10)5(x20)2500.即在商品提价时，当x20时，每日利润y最大，最大利润是500元当10490，此商品的售价应定为每个20元讲一讲318世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是
11、一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？尝试解答由数值对应表作散点图如图由图采用指数型函数作模型，设f(x)abxc.代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得：()()得b2，代入，得解得f(x)2x.f(5)5.2，f(6)10，符合对应表值，f(4)2.8，f(7)19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步
12、骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据练一练3某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
13、销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为ykxb，y3x150(xN)，经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y3x150(xN)(2)依题意有Py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300，当x40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数yf(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米错解(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为2002005%200(15%)；经过2年后木材蓄积量为200(15%2)；经过x年后木材蓄积量为200(15%x)
