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1、第四节 矩、协方差矩阵简介,在数学期望一讲中，我们已经介绍了矩和中心矩的概念.,这里再给出混合矩、混合中心矩的概念.,协方差Cov(X,Y)是X和Y的 二阶混合中心矩.,称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.,称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.,可见，,协方差矩阵的定义,将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,类似定义n维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,下面给出n元正态分布的概率密度的定义.,为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵,称矩阵,f (x1,x2, ,xn),则称X服从n元正态分布.,其中C是(X1,
2、X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,|C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵，,X和 是n维列向量， 表示X的转置.,设 =(X1,X2, ,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为,n元正态分布的几条重要性质,1. X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布,n元正态分布的几条重要性质,2. 若 X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，,Y1,Y2, ，Yk是Xj（j=1,2,n）的线性函数，,则(Y1,Y2, ，Yk)也服从多元正态分布.,这一性质称为正态变量的线性变换不变性.,n元正态分布的几条重要性质,3. 设(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，则,“X1,X2, ,Xn相
3、互独立”,等价于,“X1,X2, ,Xn两两不相关”,例2 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.,故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的 任意线性组合是正态分布.,解: XN(1,2),YN(0,1)，且X与Y独立,Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5,即 ZN(E(Z), Var(Z),ZN(5, 32),故Z的概率密度是,ZN(5, 32),这一讲我们介绍了协方差和相关系数,相关系数是刻划两个变量间线性相关程度 的一个重要的数字特征.,注意独立与不相关并不是等价的.,当(X,Y)服从二维正态分布时，有,
