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1、1,第一章 矢量分析,1.1 标量场和矢量场 1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 亥姆霍兹定理与格林定理,2,说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 E。教材上的矢量符号即采用印刷体。,标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）,矢量的代数表示,1.1 标量场和矢量场 一、矢量代数 1.矢量与标量,矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示,矢量可表示为： 其中,为模值，表征矢量的大小；,为单位矢量，表征矢量的方向；,3,任一方向的单位
2、矢量为,在直角坐标系中，如果矢量在 三个坐标轴上的投影分别为 ，则矢量 表示为,设矢量 与三个坐标轴 的夹角分别为 ，则,4,2.位置矢量,P(x,y,z),P(x,y,z),矢量 :点P的位置矢量。,矢量 :点P的位置矢量。,矢量 :点P相对于点P的相对位置矢量。,3.矢量的代数运算,矢量的加法和减法,说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律：,2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：,6,2）矢量与矢量点乘,1）矢量与标量相乘,标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。,说明： 1、矢量的点积符合交换律和分配律：,2、两个矢量的点积为标量,3、,4、,矢量的乘法,7,例：证明“三角形余
3、弦定理”。,8,3）矢量与矢量叉乘（矢积）,方向：“右手螺旋法则”,物理含义：,1.“平行四边形面积”,2.“右手法则”,“模”：,矢量的矢积（叉积）,9,说明： 1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：,2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式,矢量代数运算式,11,12,二、标量场与矢量场 1标量场和矢量场的概念 “场”概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在空间以某种形式分布，若每一时刻每个物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。,场的分类： 按物理量的性质分： 1）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场）。 2）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）
4、。,按物理量变化特性分： 1）静态场：物理量不随时间发生变化的场。 2）时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化的场。,13,例如，在直角坐标下,空间区域内的某个物理量满足如下两个函数：,标量场,矢量场,如流速场、电场、涡流场等。,14,2标量场的等值面,由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 若标量函数为 ，则等值面方程为：,高度场的等高线,15,矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。 矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。,3.矢量场的矢量线,图0.1.2 矢量线,矢量线方程,16,三、矢量与矢量场的不变特性,在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的，其大小、方向也是唯一的。 因此，引入了多种坐标系，以方便对场进行分析。,常用的坐标系,直角坐标系,柱坐标系,球坐标系,
