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1、初等数论 教学设计,唐山师范学院滦州分校 朱国 Email:,序言,欧几里德 高斯,费马,欧拉,拉格朗日 毕达格拉斯,数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。,初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的 几何原本中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代孙子算经中的下卷第26
2、题，我国称之为“孙子定理”。,近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的算术探究是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。可见高斯对数论的高度评价。,由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。,数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴
3、趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。,一、 基本内容 整除，因数与倍数，带余除法，最大公因数与辗转相除法，最小公倍数，素数与复合数，算术基本定理与标准分解式，Eratosthenes筛法，Mersenne数，Fermat数，完全数，线性不定方程，抽屉原理。,基本概念：,自然数（非负整数）：,把0，1，2，3，n叫做自然数。,自然数集N,正整数，正整数集,整数、整数集z,第一节 进位制与计数法,一、十进位制及其计数法,进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称
4、n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。,一般地说，进率是几，就叫做几进位制。例如有二进位制、八进位制、十进位制、十二进位制、六十进位制等。我们通常是用“十进位制计数法”，它的特点是相邻两个单位之间的进率都是“十”（即满十进一），用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，0和位值原则结合起来记数。如一百三十五记作135。,对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。,常见的进位制： 二进制广泛用于计算机 三进制用于军队编制
5、十进制最常用 十二进制时辰、月份、一打物品 十六进制广泛用于计算机 六十进制秒、分,角度,不同进位制之间的互化：,例：二进制的四则运算,化成十进制,例二、化成二进制,例三、二进制与八进位互换,例4 已知 求证：,例5 一个六位数 与3之积等于 ，求这个六位数。,例6 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，若只能奖罚码放在天平的一段，问能称出多少种不同质量的物品？ 若称23克的物品，因故和选配上述砝码。,解答题： 1 把8743（10）化为七进位制。 2 把十进位制625 化为二进位制。 3 把下列各数化为十进位制数。 （1） 10110（10）；（2）21021（3）； （3）235（16）,4 把下列各数化为二进位制数，三进位制数 。 （1） 145(10)；（2）153(8) ； （3）215(12) 5. 把下列各数化为二进位制小数： （1）0.6875（10）； （2）23.1875（10）,6 有一架天平秤，要用它称出1克121克间任意整数克的重物，至少需要多少枚砝码？,
