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1、第三章 离散系统的时域分析,绪论 第一节 LTI离散系统的响应 第二节 单位序列和单位序列响应 第三节 卷积和 总结,绪论,离散系统分析与连续系统分析在许多方面是互相平行的，它 们有许多类似之处。连续系统可用微分方程描述，离散系统可用 差分方程描述。差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是 相互对应的。在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在 离散系统分析中，卷积和也具有同等重要的作用。 与连续系统类似，LTI离散系统的全响应 也分为零输入响 应 和零状态响应 两部分，表示为： 本章主要讨论离散系统的零状态响应。,第一节 LTI离散系统的响应,一.差分与差分方程 差分定义 前向差分： 后
2、向差分： 关系： 两者仅移位不同无原则区别，本书主要采用后向差分，简称差分。 .差分运算具有线性，即： .差分阶次：,.差分方程： 对线性系统： 其差分方程为： .差分方程的递推法求解： 例1：某离散系统： ，初始条件y(0)=0. y(1)=2,求输入 时的响应 解： 代入初始条件 该方法可以用迭代法计算，使用计算机运算比较方便，但不易得解析解。,或,n为差分阶次,LTI离散系统,二.差分方程的经典解 线性系统的一般差分方程： 经典解法： 1.齐次解： 由特征方程 特征根，再由特征根的形式定出齐次解的形式。 的形式 单根： 重根： 一对共轭： r重共轭根，形式如书。 2.特解：由输入形式定特
3、解的形式。 所有特征根部不为1 有r重为的特征根 不为特征根 为单特征根 为r重特征根,或,其中共轭根：,或 所有特征根不为 ， 3.全解： 由初始条件定系数。 注意：初始条件应为y(j),j=0,1,2,而已知y(j),j=-1,-2,-3,应由方程迭代出 y(j),j=0,1,2的。 例1：,单根,为r重根,由初始条件定系数,求全解。,解： 1.求,2.求,由输入,将,代入方程,3.全解,由初始条件, 例2： 解：齐次解： 特解： 由输入 代入方程得：P=Q=1 全解： 一般对于稳定系统其自由响应一般为瞬态响应，其强迫响应即输入作用的 响应为稳态响应。,自由响应,强迫响应,求全解,由初始条
4、件,自由响应(瞬态),强迫响应(稳态),三.零输入响应和零状态响应： 零状态响应 零输入响应 1.零输入响应：零输入时，差分方程 齐次方程，可求其特征根，当为单特 征根时： 2.零状态响应：为非齐次方程，当单特征根时，形式为： .全响应：,则,可由初始条件直接定出。,由输入定形式，代入非齐次方程定系数,由零初始条件定出,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,仅由系统的初始条件决定。,不仅与系统的初始条件有关，而与输入也有关系,.初始条件： 各初始条件中，不仅包含有零输入响应的初始值 ，也包含零状态响应 的初始值 ，不便分开，不能去定 。而当 时，这时 激励还未加入，则 时，有 即当给定初
5、始条件的j不为负值时，可由方程迭代入 再上式得 由它定系数 和 例1 ： 求零状态响应，零输入响应，全响应。 解： 由初始条件 零状态响应 ： 由输入： 代入方程定出,由特征根 得 代入k 0 的初始条件 迭代出 由它们定出系数 系统的全响应： 注意：求零状态和零输入响应时，y(j)初始条件，j为0,1，正的取值才可以. 例2: 求零输入响应的初始条件 和零状态响应的初始条件 解：零状态初始条件 （零状态下-1，-2时无输入） 代入方程迭代出,零输入,零状态,自由响应,强迫响应,当已知 求,迭代,迭代,第二节 单位序列和单位系列响应,一.单位序列和单位阶跃序列 1.单位序列（单位脉冲序列）：
6、定义： 与 对应，但 不为奇异信号 波形： 位移： 性质： 2.单位阶跃序列： 定义： 波形： 移位：,k,k,因果信号表示： 3.两者关系： 二.单位序列响应和单位阶跃响应： 1.单位序列响应： 求法 由差分方程求解 也可由Z变换求，对方程做Z变换后求解 方法： 只在k=0处为1，k0为齐次方程，由特征根定形式，并定出系数。,LTI,例1：求单位序列响应 解:列出差分方程，并确定 初始条件。 .求 ，在k0 时， 特征方程：,D,D,1,2,+,+,+,则：,代入初始条件,例2：如图系统求其单位序列响应。 解：.列方程：设中间 变量 .单位序列响应： 初始条件： 可先求输入为 的 ： 而 作
7、用后的 根据时不变性有 ,D,D,1,1,2,+,+,+,+,1,得：,同上题,二.阶跃响应 ： 求法：.可以用经典的方法求解 ： 类似 求解，定形式（除齐次解部分，加上特解），并定出系数。 .利用： 与 关系： 由线性时不变： 这样在 已知时可求出 ，也由 利用 例3：求上例的单位阶跃响应： 解：1.经典法： 则： 初始条件 ，而定系数需求 的值。 由方程迭代得：,LTI,即：,求,特征方程： 而由输入 则 代入方程定出 代入初始条件： 2. 利用单位序列响应求： 上例已经求出为,则：,由几何级数求和公式得：,考虑到k0,则,常用的几种数列求和公式：,第三节 卷积和,一.卷积和： 1.分析
8、任意一个序列可分解为单位序列的组合。 系统 ，由时不变 系统 系统 由线性得 即 等于 与 的卷积和。,LTI,2.卷积和定义： 两个序列 和 的卷积和定义为： 计算时，换元，其一反转，平移，乘积后求和。 二.卷积和图示： 例1： 为 为 解： 先换元为i 对 反转，如图： 平移不同K值计算：,k,k,k,共 个不为零，本例为6个不为零 计算时可用 P105 表： 写出相同K的对角线的元素之和即为结果 对有序序列卷积可用该方法计算， 对无限序列卷积有： 若 为因果序列： 若 为因果序列： 若 都为因果序列： 例2： 解：,1,2,3,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,2,2,2,2,
9、0,3,3,3,3,0,0,0,0,0,0,求,三.卷积和的性质： 1.类代数的性质： 交换律： 分配律： 结合律： 物理意义： 2.与 卷积的性质：,并联,串联,例3：如图复合系统由两个子系统级联而成： a，b为常数 求；复合系统的单位序列响应 解：,即,例4：如图离散系统，初始条件 激励 求全响应： 解：写出系统的方程： .求 特征方程 .求,D,D,+,+,+,1,2,在零输入,代入方程迭代出,并求,则,先求,由例3.2.1, 全响应：,本章总结,差分的定义 差分方程： 求解： 由特征根定形式 系数待定 由输入定形式 带入方程定系数 由初始条件定系数,关系：,求解 由特征根定形式 由 为正的值 经典解类 的求法 用卷积： 求法：变元，反转，平移，乘积，求和 卷积 定义： 性质： 类代数性质 与 卷积,
