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1、第 42题 平面向量与三角形的四心问题I题源探究黄金母题【例1】如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ）A2 BC D【答案】C【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，所以，化简得，解得题目所给图像可知由基本不等式得，即当且仅当，即时，等号成立，故最小值为精彩解读【试题来源】2018湖南岳阳一中高三上学期第一次月考【母题评析】本题主要考查向量的几何运算及利用基本不等式求最值考查考生的分析问题解决问题的能力，属于难题【思路方法】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和
2、或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）II考场精彩真题回放【例2】【2017高考浙江15】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】解法一：设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是解法二：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形所以易知当，B，C三点共线时，最小，此时；当时，最大，此时【命题意图】本题主要考查本题能较好的考查考生分析问题解决
3、问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】本题通过设的夹角，结合模长公式，解得，再利用三角有界性求出最大、最小值III理论基础解题原理三角形的四心，指的是三角形的垂心、重心、内心、外心（1）三角形的垂心是指三条高线的交点垂心常用字母H来表示（2）三角形的垂心是指三条中线的交点重心常用字母G来表示重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点内心常用字母I来表示内心到三边的距离相等（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示外心到三角形三个顶点的距离相等公式1：如图，在中，点
4、P为三角形内任意一点，则(其中)（1）PDBAC证明：设，则，令，代入上式，取O为P，则得(1)进而可证明：，记代入公式（1）得：公式2：（2）下面用公式2对三角形的四心统一公式进行推导：当点P为外心时，（其中R为三角形外接圆半径），代入（2）式得：；当点P为内心时，（其中为三角形内切圆半径），代入（2）式得：（其中R为三角形外接圆半径），代入（2）式得：；当点P为重心时，代入（2）式得：当点P为垂心时，如图2，同理，代入（2）式得：IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等；若作为压轴题，则难度大【技能方法】三角形“四心”的向量表示在中，若
5、或，则点是的外心；在中，若，则点是的重心；在中，若，则直线过的重心；在中，若，则点是的垂心；在中，若，则直线通过的内心【易错指导】很多同学不知道三角形中重心，外心，内心，外心的定义及性质，比如三角形重心将中线分为二比一两段，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，内心到三边的距离相等；由这几个向量式不知道如何化简，特别是得到，由此想到垂心V举一反三触类旁通考向1 三角形重心与向量【例1】【2018内蒙古呼和浩特市高三11月质量普查】已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则一定为的（ ）A重心 B边中线的三等分点（非重心） C边中线的中点 D边的中点【答案】B【例2】已知点是的重心，内角
6、所对的边长分别为，且，则( )A B C D【答案】A【解析】点O是ABC的重心，又2a=，可设2a=x，b=x，c=x（x0），a=，b=x，c=（x0），cosC=，sinC=，同理可得：，故选：【名师点睛】设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心（2）为的重心（3）为的垂心（4）为的内心【例3】【2018广西桂林市、贺州市高三上学期期末联考】已知点为的重心，设的内角的对边为且满足向量，若，则实数（ ）A2 B3 C D【答案】D，故选D【跟踪练习】1【2018四川宜宾高三上半期考】已知 中，若G为的重心，则=A B C D【答案】C【解析】 = =4，故选C【名师点睛】本题
7、考查平面向量基本定理的应用以及数量积的应用平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简2已知G点为ABC的重心，且，若，则实数的值为A1 B C D【答案】C3【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺】已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A内心 B外心 C重心 D垂心【答案】C【解析】在中，由正弦定理得，设边上的中
8、点为，由已知可得，故点的轨迹在三角形的中线上，则点轨迹一定通过三角形的重心，故选C4【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺】已知G为ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则ABC和AMN的面积之比为_【答案】5如图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为 【答案】【解析】这题应该用到这个结论：是直线外一点，则三点共线的充要条件是本题中就是设，则，由于是的重心，有，又，根据平面向量基本定理得，即，代入得6已知的重心为，过任做一直线分别交边于两点，设，则的最小值是_【答案】考向2 三角形外心与向量【例4】【2018
9、四川成都外国语学校高三11月月考】设是所在平面内的一点，若且则点是的A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】A【解析】由，得，即，所以，设D为AB的中点，则，故；因为，所以，所以，设BC的中点为E，同上可知，所以P为AB与BC的垂直平分线的交点所以P是的外心选A【名师点睛】三角形“四心”的向量表示在中，若或，则点是的外心；在中，若，则点是的重心；在中，若，则直线过的重心；在中，若，则点是的垂心；在中，若，则直线通过的内心【例5】【2018河北衡水中学高三上学期九模】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹经过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】A【例6】【2018
10、重庆一中高三下学期第一次月考】点是锐角三角形的外心，则的值为_【答案】20【解析】 如图所示，过点分别作于于，则分别是的中点， 可得在中， 所以，同理可得， 所以 【名师点睛】本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题，其中解答中将放在它的外接圆中，过点分别作，得到分别是的中点，利用数量积的运算，分别求得的值是解答的关键，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质，有一定的综合性，属于中档试题【跟踪练习】1【2018江西南昌一模】设是的外心(三角形外接圆的圆心)若 ，则的度数等于()A B C D【答案】C【名师点睛】这个题目考查了向量在三角形的四心中以及向量的三角形法则
11、，求模运算以及数量积的运用，属于中档题对于向量的小题常用的方法有：数形结合法，建系的方法，见模平方的意识，基底化的意识2【2018浙江省普通高等学校全国招生统一考试数学模拟】已知为锐角的外心，若，且记，则（ ）A B C D【答案】D，由得，根据余弦定理可得，在中，由大边对大角得：，且余弦函数在上为减函数，故选D【名师点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量
12、外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题3已知O是锐角的外心，若则m（ ）A B C3 D【答案】A，化为，故答案选4【2018新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断测试】在中，是的外心，若，则_【答案】【解析】因为，所以，即，因此，解得5【2018四川省双流中学高三11月月考】已知为的外心，其外接圆半径为1，且若，则的最大值为_【答案】，解得 B在圆上，代入，即，解得或（舍去）故最大值为，故填考向3 三角形内心与向量【例7】【2018山西省运城市康杰中学期中考试】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通
13、过的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【答案】D【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量，+的方向与BAC的角平分线重合，又可得到 =（+），向量的方向与BAC的角平分线重合，一定通过ABC的内心故选：D【名师点睛】平面向量的线性运算技巧：将向量转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线、平行四边形等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解【例8】【2018四川德阳高三二诊】已知中，角、所对的边分别是、且，若为的内心，则的面积为_【答案】【名师点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式，包括海伦公式及有关内切圆的面积公式首先根据，及，得到，利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式，化简这个式子可求得的值利用海伦公式可求得面积【跟踪练习】1【2017年12月浙江省重点中学期末热身联考】已知三角形，点为三角形的内心，记，则（ ）A B C D【答案】A【解析】三角形，点为三角形的内心，即，即，即 根据余弦定理可得：，【名师点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起
