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1、圆的方程求法I题源探究黄金母题【例1】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，求圆心为的圆的标准方程【解析】因为，所以线段的中点的坐标为，直线的斜率为，因此线段的垂直平分线的方程是，即，解方程组，得，即圆心坐标为，圆的半径，所以圆的标准方程为II考场精彩真题回放【例2】【2016年天津高考文】已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为_【答案】【解析】设圆心为，则由题意，得，解得，所以圆的半径为，故圆的方程为【例3】【2016浙江高考卷】已知，方程表示圆，则圆心坐标是_，半径是_【答案】；5【解析】由题意，得当时方程为，即，圆心为，半径为5；当时方程为，不表示圆
2、【例4】【2015北京高考卷】圆心为且过原点的圆的方程是（）ABCD【答案】D【例5】【2015江苏高考卷】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【答案】【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为【例6】【2016陕西高考卷】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：【例7】【2013重庆高考卷】设是圆上的动点,是直线上的动点,则的最小值为（）A6B 4C3D2【答案】B【解析】圆心为,半径为2.圆心到直线的距离为，所以的最小值为
3、，故选B精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第120页例3【母题评析】本题已知三个条件圆的标准方程，解答时根据利用直接法分别求出圆心的坐标与半径，具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题【思路方法】本题解答主要是利用直接法求圆的方程，即根据利用两条直径所在的直线首先求出圆心坐标，利用圆心到圆上的已知点求出圆的半径，进而求得圆的标准方程【命题意图】本类题主要考查两条直线的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可以出现在解答题一个小题中，涉及到知识难度中等【难点
4、中心】求圆的标准方程主要有两种方法：（1）直接法，该法的难度是如何确定圆心与半径；（2）待定系数法，此法的难度是如何建立关于参数或的方程有时面临两种方法都可以利用，此时的难点是选择何种方法较为简捷III理论基础解题原理考点一圆的标准方程1标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：2点与圆的位置关系：（1）设点到圆心的距离为，圆半径为：点在圆内；点在圆上；.点在圆外； （2）点与圆的位置关系：当，点在圆外；当=，点在圆上；当，点在圆内考点二圆的一般方程一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为；当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形注：方程表示圆
5、的充要条件是：且且.IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题可单独命题在选择题与填空题中出现，也可以出现在解答题的第（1）题中主要题型：（1）根据条件求圆的方程，难度中等；（2）根据圆的方程确定圆心与半径，难度较易【技能方法】（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或（3）利用待定系数法时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般式【易错指导】（1）若圆的方程确定圆心时，易错误确定圆心为；（2
6、）忽视二元二次方程表示圆的条件为，使问题的解决建立在纸上谈兵上；（3）忽视圆方程中两个变量范围，往往会使问题造成多解V举一反三触类旁通考向1构成圆的方程的条件【例8】【2016湖北省黄冈中学高三上第一次周测】点在圆上，则的值为（）A1BC1或D2或【答案】B【易错提醒】对于含有参数的二次的方程是否表示一个圆，是须有条件限制的，即必须满足，且【跟踪练习】【2016武汉华中师大一附上期末】已知方程表示一个圆，则该圆的半径的取值范围横_【答案】【解析】要使方程表示圆，则，即，整理得，解得，考向2圆的方程求法【例9】【2016内蒙古包头市学业测试与评估二】过三点的圆的方程为_【答案】【解析】设圆的方程
7、为，其中，将坐标分别代入，分别将代入，得，化简，所以，所以圆的方程是【例10】【2016湖南永州市下期三模】已知的三个顶点的坐标分别为,以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点, 则圆的方程为（）ABC D或【答案】D【解析】依题意， 直线的方程为，化为一般式方程，点到直线的距离，又，则以原点为圆心的圆若与三角形有唯一的公共点，则公共点为或，所以圆的半径为或，所以圆的方程为或，故选D【方法归纳】求圆的方程主要有两种方法：（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心和半径；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得或【跟踪练习】【2016云南玉
8、溪市高三第三次质检】圆与直线及，都相切，圆心在直线上，则圆的方程为_【答案】【解析】设圆心坐标为，则有，解得，则，所以圆的方程为考向3圆中的最值问题【例11】【2016山东省临沂十八中三模】已知点，点是圆： 上的动点，则面积的最大值与最小值之差为_【答案】【方法点拨】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；（2）根据条件得到关于某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理【跟踪练习】【2016重庆巴蜀中学高三3月月考】已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】由题意得的圆心为，半径为因为圆心到原
9、点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最大值为，又由，可得以为直径的圆与圆有交点，所以，故选D考向4与圆有关的轨迹问题【例12】【2016宁夏银川一中上期第四次月考】点是圆上的动点，点与点关于点）对称，则点的轨迹方程是_【答案】【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然而整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法【跟踪练习】【2016河北省冀州市中学高三上开学考试】动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹
10、方程是（）A BC D【答案】C【解析】设圆上动点，它与定点连线的中点，由中点坐标公式得，所以， 因为在圆满足：，把代入方程得，选C考向5关于特殊点与直线的对称问题【例13】【2016吉林省白城一中高三下4月月考】圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_【答案】【解析】圆心关于直线对称的点为，所以圆C的方程为【方法点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度本题根据圆的图象的对称性，将圆上存在两点关于直线对称，转化为圆心在直线上是解题的关键【跟踪
11、练习】【2017成都市高中毕业班摸底】已知圆上存在两点关于直线对称，则实数_【答案】【解析】因为圆的圆心为，且圆上存在两点关于直线对称，所以直线过，即，解得考向6圆与其它知识的交汇【例14】【2017江西新余一中上期开学考试】已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（）ABCD以上都不对【答案】B【例15】【2016宁夏六盘山二模】若直线过圆的圆心，则的最小值是（）A8B12C16D20【答案】C【解析】圆的圆心在直线上，所以，即，代入得（当且仅当时等号成立），所以的最小值是，故选C【题型点睛】圆与其它知识的交汇主要涉及：（1）通过圆中相关线段对应的向量满足的条件与平面向量发生联系；（2）由于圆可以围成一定的区域，因此常常与几何概型发生联系；（3）圆的线段间的大小关系、多个参数之间的等量关系等形式均可能与不等式知识发生联系【跟踪练习】【2016四川省成都七中高三3月第一周练】已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为_【答案】【解析】由题，则由余弦定理，所以【例22】设不等式组表示的平面区域为.若圆：不经过区域上的点，则的取值范围是()ABCD【答案】D- 9 -
