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1、第19题 函数与方程问题的分析I题源探究黄金母题【例1】已知，求证：（1）；（2）【证明】（1）（2）精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第7题【母题评析】本题考查了指数幂运算的性质【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题II考场精彩真题回放【例2】【2017高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8【解析】由于 ，则需考虑 的情况在此范围内， 且 时，设，且互质若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此，因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交
2、点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8【例3】【2014高考辽宁卷】已知定义在上的函数满足：；对所有，且，有若对所有，则的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】不妨令，则解法一： ，即得，另一方面，当时，符合题意，当时，故解法二：当时， ，当时，故【命题意图】本题属于能力题，中等难度在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大【难点中心】解答本题的关键，是利用分类讨论
3、思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等III理论基础解题原理1函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：（1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节）（2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即 （3）函
4、数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2双变量函数方程的赋值方法：（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大【技能方法】常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程抽 象 函
5、 数具 体 模 型比例函数：正指数函数：当时，当时，幂函数：三角函数：【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多V举一反三触类旁通考向1 求抽象函数的解析式（值）【例1】【2017东北三省三校第二次联合模拟考试】已知偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则的值为（ ）A-3 B-2 C2 D3【答案】D【例2】已知函数满足：，对任意实数都有，则 （ ）A B C D 【答案】
6、B【解析】由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，两式相加可得，则可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，则，从而，且【例3】设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为 【答案】【例4】设函数的定义域为，且对，都有，则的解析式为_【答案】【解析】观察到右边的结构并非的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，则时， ，时， ，则求是关键，结合，可令，则，代入到可得：，即，消去解得：【跟踪练习】1已知函数y=f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A4 B2 C1 D0【答案】D【解析】偶函数图像关于
7、y轴对称，所以与x轴四个交点横坐标，两两关于y轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D2【2017重庆第一次调研抽测】奇函数f(x)的定义域为R若f(x+3)为偶函数，且f(1)=1，则f(6)+f(11)=（ ）A-2 B-1 C0 D1【答案】B3已知是定义在上的函数，且对任意的，都有，那么_【答案】【解析】函数方程为“和积”的特点，抓住，可发现令，则，可得：自变量间隔，其函数值的和为0，将求和的式子两两一组，即：4【2017西省实验中学高三下学期模拟热身】已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a的值等于 （ ）A Be C2 D1【答案】A【
8、解析】因为函数是偶函数，所以，即当时，有，函数在函数单减，在(单调递增，解得，故选A点睛：本题的难点是对于函数是偶函数的正确转化，应该得到如果说是是偶函数，则应得到考向2 抽象函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等）【例5】定义在的函数满足关系，当时，若，则的大小关系为 （ ）A B C D 【答案】D虑，则，因为，从而，即，得到在单调递增，【评注】本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设，因为，且，由可得成立，从而【例6】【2017山东聊城模拟】
9、已知定义域为的函数，若函数的图象如图所示，给出下列命题：；函数在区间上单调递增；当时，函数取得极小值；方程与均有三个实数根其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C所以方程 均有三个实数根不正确；故选：C【例7】【2018河北衡水模拟】定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 （ ）A B C D【答案】D【例8】【2018陕西西安长安区高三上学期质量检测】已知定义在区间上的函数满足，且当时， （1）求的值；（2）证明： 为单调增函数；（3）若，求在上的最值【答案】（1）f（1）=0（2）见解析（3）最小值为2，最大值为
10、3【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求 的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值试题解析：（1）函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0（2）证明：设x1，x2（0，+），且x1x2，则1，f（）0，f（x1）f（x2）=f（x2）f（x2）=f（x2）+f（）f（x2）=f（）0，即f（x1）f（x2），f（x）在（0，+）上的是增函数（3）f（x）在（0，+）上的是增函数若，则f（）+f（）=f（）=2，即f（5）=f（1）=f（）+
11、f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为2，最大值为3【点睛】本题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决本题的关键【跟踪练习】1定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，则的值为 （ ）A B C D 【答案】D【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明单调，令（其中），则可证明为增函数，从而，再利用函数方程求出的值即可2已知函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满
12、足，考察下列结论：；为奇函数；数列为等差数列；数列为等比数列其中正确的个数为 ( )A B C D 【答案】D【解析】考虑按照选项对函数方程中的进行赋值计算，令，可得；令，则，正确； 使等式中出现，令，则，需要计算出，结合方程可令，则有，即，为奇函数，正确；从等差数列定义出发，考虑递推公式，因为，所以可得：，从而判定为等差数列，正确；若按照等比数列定义，考虑，则不易于进行化简可由出发得到的表达式：，即，从而可判定是一个等比数列，正确3【2017上海闵行二模】设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1) 若是奇函数，则也是奇函数；(2) 若是周期函数，则也是周期函数；(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点其中正确的命题共有A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C4已知函数对任意的均有，且当时，（1）求证：为奇函数；（2）求证：为上的增函数【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】试题分析：（1）要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令，则有，再通过代入特殊值计算出即可；（2）思路：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差所以考虑，进而只需判断的符号即可试题解析：（1）令，则 令，则解得，为奇函数
