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1、专题四 空间垂直的证明I题源探究黄金母题【例1】如图，在正方体中，求证：（1）平面；（2）与平面的交点是的重心（三角形三条中线的交点）【解析】（1）连接，又面，面，因此同理可证：，平面（2）连接，由，得点为的外心.又是正三角形，点为的中心，也为的重心II考场精彩真题回放【例2】【2016年全国卷】如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，交于点，将沿折到的位置.（1）证明：；（2）若，求五棱锥体积.【解析】（1）由已知得，又由得，故由此得，所以（2）由得由得，所以，于是故由（）知，又，所以平面于是又由，所以，平面又由得五边形的面积为，所以五棱锥体积为【例3】【2015重庆高考】如图，三棱锥中
2、，平面平面，点在线段上，且，点在线段上，且.（）证明：AB平面PFE；（）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长【解析】（1）如图.由知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而.因. 从而与平面内两条相交直线，都垂直，所以平面.（2）设,则在直角中，.从而由，知，得,故，即.由，,从而四边形的面积为 由（1）知，平面，所以为四棱锥的高.在直角中，体积，故得，解得，由于，可得，所以或【例4】【2015全国新课标卷】如图四边形为菱形，为与交点，平面（）证明：平面平面；（）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【解析】（）因为四边形为菱形，所以，因为平面，所以，
3、故平面又平面，所以平面平面（）设，在菱形中，由，可得，.因为，所以在中，可得.由平面，知为直角三角形，可得.由已知得，三棱锥的体积，故=2从而可得.所以的面积为3，的面积与的面积均为，故三棱锥的侧面积为.精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置【思路方法】两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直，而直线与平面或垂直又可转化为直线与直线垂直，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是
4、：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化III理论基础解题原理考点直线、平面平垂直的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的
5、常用方法直线与平面垂直的判定一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直（满足条件与垂直的平面有无数个）判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线IV题型攻略深度挖
6、掘【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的垂直，主要出现在第1小题中【技能方法】（1）证明线线垂直转化为证明线面垂直或面面垂直；（2）证明线面垂直转化为证明线线垂直或面面垂直；（3）证明面面垂直转化为证明线线垂直或线面垂直【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视直线与平面垂直的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论V举一反三触类旁通考向1空间直线与直线垂直【例5】【2017重庆八中上期第一次月考】已知在斜三棱
7、柱中，四边形为菱形，点为的中点，平面.（1）求证：；（2）设直线与交于点，求三棱锥的体积【方法点睛】证明线线垂直常见的有两种途径：（1）通过证明线面垂直达到目的，然而在实际证明过程中常常是转化为证明线面垂直后，又可转化为证明面面垂直或线线垂直；（2）利用三垂线定理证明【跟踪练习】【2016昆明一中第七次高考仿真】如图所示的三棱柱中，（）证明：；（）若，求三棱柱的体积【解析】（）证明：在图2中取的中点，连接，因为，所以，又因为， 所以因为，所以 平面， 而平面，所以（）由（）知，因为，所以，因为，所以，所以为等腰直角三角形，且，所以， 则平面， 故为三棱锥的高，则，因为三棱柱与三棱锥同底等高，所
8、以其体积为考向2空间直线与平面垂直【例6】【2017武汉部分学校上期起点考】如图，四棱锥中，与都是等边三角形（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积（2）由（1）知为四棱锥的高，又，【思路点睛】判断线面垂直在高考中用得最多的途径有两条：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质【跟踪练习】【2016福建泉州市高三5月质检】如图, 三棱锥中, 平面平面,点分别是的中点.（1）求证：平面；（2）已知,求三棱锥的高.【解析】（1）,点为的中点,又平面平面,平面平面平面,平面又平面,故又点为棱的中点, 因此又.又平面平面.（2）由（1）得平面,线段的长就是点到平面的距离又由平面得.在中, 故是边
9、长为的等边三角形又为中点,又点为分别为棱的中点, 因此,且，.,在中, 设三棱锥的高为.则由得,故三棱锥的高为.考向3空间平面与平面垂直【例7】【2016届陕西黄陵中学二模】如图，在四棱锥中，是等边三角形，侧面底面，其中，.（）是上一点，求证：平面平面；（）求三棱锥的体积.（）取中点，由为等边三角形得 平面平面，平面，又因为 中，在中，边上的高，三棱锥的体积为. 【名师点睛】应用平面与平面垂直的判定定理的关键是在其中一个平面中寻找另一个平面的垂线，由线面垂直推出面面垂直特别要注意直二面角在平面与平面垂直中的应用【跟踪练习】【2017河南省天一大联考上期段测】如图，已知等边中，分别为，边的中点，为的中点，为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.（）求证：平面平面；（）设，求三棱锥的体积.（）由（）知平面，所以为三棱锥底面上的高.根据正三角形的边长为4，知是边长为2的等边三角形，所以.易知，.又由（）知，所以，所以，所以- 11 -
