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1、第82题 求曲线方程或轨迹方程I题源探究黄金母题【例1】如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？【答案】动点的轨迹是中心在原点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆【解析】设点的坐标为，点的坐标为，则，点在圆上，即，亦即，动点的轨迹是中心在原点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆【例2】已知点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是求点的轨迹方程【答案】【解析】设，由已知得，化简即得点的轨迹方程为精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-1P34例2例2：人教A版选修2-1P35例3【母题评析】本题轨迹方程的求法，考查考生的分析问题、解决问题以及转化与化归
2、能力【思路方法】可以采用直接法、定义法、相关点法、交轨法、参数法等解题II考场精彩真题回放【例1】【2017高考天津理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得，故选B【例2】【2017高考全国III理5】已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 （ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，椭圆中：，椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组：，解得：，则双曲线 的方程为，故选B【例3】【2017高考全国I理20节选】已知椭圆，四点P1（1，1），P2（0，1
3、），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上（I）求C的方程【解析】试题分析：（I）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点另外知，C不经过点P1，点P2在C上因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程试题解析：（I）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点又由知，C不经过点P1，点P2在C上因此，解得故C的方程为【例4】【2017高考天津理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【答案】
4、 （I），（II），或【解析】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程试题解析：（）设的坐标为依题意，解得，于是，椭圆的方程为，抛物线的方程为（）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去，整理得，解得，或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故又的面积为，故，整理得，解得，直线的方程为，或【例5】【2017高考江苏17】如图，在平面直角坐标系中，椭
5、圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（I）求椭圆的标准方程；（II）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标F1 O F2xy(第17题)【答案】（I）；（II）【解析】（I）设椭圆的半焦距为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，联立得，故椭圆E的标准方程为（II）解法一：由（I）知从而直线的方程： 直线的方程： 由，解得，点在椭圆上，由对称性，得，即或因此点P的坐标为解法二：设，则，由题意得，整理得，点在椭圆上，故点的坐标是解法三（参数方程）：设，则直线方程分别为联立解得又在椭圆上，整理得又，点的坐标是解法四（秒杀技）：由
6、已知得，故这四个点共圆若四点共圆，则圆以为直径，方程为，但它与椭圆无交点，故应该是四点共圆（即在以为直径的圆上），从而关于轴对称设，则，且是圆与椭圆的交点，又在此圆上，解得（注意：）【命题意图】这类主要考查轨迹（方程）的求法、椭圆、抛物线、双曲线简单的几何性质等本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题第（I）小题，难度中等偏易【难点中心】1利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出另外求双曲线方程要注意巧设双曲线：（1）双曲线过两点可设为
7、；（2）与共渐近线的双曲线可设为；（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程2求轨迹方程的常用方法有：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系求轨迹方程（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入（相关点）法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程（5）参数法：根据动点坐标的参数表示形式消去参数得到方程III理论基础解题原理1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点
8、的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得出方程3求动点的轨迹方程的一般步骤（1）建系建立适当的坐标系；（2）设点设轨迹上的任一点P(x，y)；（3）列式列出动点P所满足的关系式；（4）代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关
9、于x，y的方程式，并化简；（5）证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题第（I）小题，难度中等偏易【技能方法】根据问题给出的条件不同，求轨迹的方法也不同，一般有如下规律：（1）单点的轨迹问题直接法待定系数法；（2）双动点的轨迹问题相关点法；（3）多动点的轨迹问题参数法交轨法【易错指导】1要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程2求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，则不仅要求出方程，而且还需要说明所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位
10、置、大小都需说明3利用参数法求动点轨迹时要注意：（1）参数的选择要合理；（2）消参的方法灵活多样；（3）对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对的取值范围的制约4确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：准确理解题意，挖掘隐含条件；列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价；消参时要保持范围的等价性；数形结合，查“漏”补“缺”在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；简化条件式；转化化归V举一反三触类旁通考向1 直接法求轨迹方程直接法也叫直译法，
11、即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法【例1】【2018北京石景山区高三一模】如图，已知线段上有一动点（异于），线段，且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分【答案】B【名师点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种
12、已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程【例2】一条线段AB的长等于2a，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？【分析】此题中利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，得到OM=这一等量关系，是此题成功的关键所在【名师点睛】一般直译法有下列几种情况：（1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹（2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程（3）运
13、用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程（4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法【例3】【2018甘肃兰炼一中下学期高三二模】已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线（I）求曲线的方程；（II）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在求出坐标；若不存在请说明理由【答案】（I）；（II）见解析试题解析：（
14、I）设动点，则， ，即化简得：，由已知，故曲线的方程为 （II）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，消去得，设，则，直线与斜率分别为，当时，；当时，存在定点，使得直线与斜率之积为定值【名师点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，试题往往运算、化简比较繁琐，注意运算的准确性，试题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等【跟踪练习】1【2018江西高三毕业班教学质量监测】已知向量，满足， ，若为的中点，并且，则点的轨迹方程是（ ）A BC D【答案】D2【2018衡水金卷（二）】如图，矩形中， 且，交于点（I）若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称，求曲线的轨迹方程；（II）过点作曲线的两条互相垂直的弦，四边形的面积为，探究是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由【答案】（I）曲线的轨迹方程为；（II）为
