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1、第57题 线性规划问题I题源探究黄金母题【例1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg的碳水化合物，kg的蛋白质，kg的脂肪1kg食物A含有kg碳水化合物，kg蛋白质，g脂肪，花费28元；而1kg食物B含有kg碳水化合物，kg蛋白质，kg脂肪，花费21元为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？【解析】设每天食用kg实物A，kg实物B，总成本为元，则目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线是直线在轴上的截距，当取得最小值时，的值最小当然直线与可
2、行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值由图可见，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最小解方程组得点，因此，当时，取最小值，最小值为16由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元精彩解读【试题来源】人教版A版必5P88例5【母题评析】本题考查线性规划问题，作为基础题，是历年来高考的一个常考点【思路方法】解决此类问题的关键是通过线性约束条件，准确作出可行域，再根据目标函数的几何意义解题II考场精彩真题回放【例1】【2017高考新课标2理5】设满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可
3、行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点 处取得最小值，故选A【例2】【2017高考浙江4】若满足约束条件，则的取值范围是 （ ）A0，6 B0，4 C6， D4，【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D【例3】【2017高考新课标3理13】若满足约束条件，则的最小值为_【答案】 【解析】绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点 处取得最小值【例4】【2017高考新课标1理13】设
4、满足约束条件，则的最小值为 【答案】【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得，由得在轴上的截距越大，就越小所以，当直线直线过点时，取得最小值，所以取得最小值为【例5】【2017高考天津16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的
5、次数（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【答案】()见解析（）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多【解析】试题分析：（）设根据甲乙连续剧总的播放时间不多于600分钟，得到，根据广告时间不少于30分钟，得到，和，同时注意次数，需满足的条件，建立不等式组，画区域；（）求的最值，同时注意是整数解试题解析：（）由已知，满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：（）设总收视人次为万，则目标函数为考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线为直线在
6、轴上的截距，当取得最大值时，的值最大又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大解方程组得点M的坐标为所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多【命题意图】这类题考查简单的线性规划问题【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为基础题【难点中心】1利用图解法解决线性规划问题的一般步骤一画二移三求：(1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果2常见的目标函数有：（
7、1）截距型：形如求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式；（4）绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离III理论基础解题原理1二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点的平面区域对于在直线同一侧的所有点，实数的符号相同，故只需在此直线的某一侧取一个特殊点，由实数的符号，即可判断表示直线哪一侧的平面区域2线性规划的有关概念：（1）线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，故又称线性约束条件（2）线性目
8、标函数：关于的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫线性目标函数（3）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题（4）可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，属于基础题【技能方法】1判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：（1）特殊点法（线定界，点定域）；（2）符号判断法（同上异下）2求解线性规划问题的一般步骤：（1）列出线性约束条
9、件及线性目标函数；（2）作图画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线；（3）平移将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；（4）求值解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值【易错指导】（1）画不等式表示的平面区域，若含等号，则边界线画成实线；否则边界线画成虚线（2）线性目标函数的几何意义：是直线在轴上的截距（3）整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点；最优解一定是可行解；但可行解不一定是最优解；最优解可能唯一，也可能有无穷多个或者无最优解在实际问题中变量除了受题目中已知的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在
10、涉及以人数为变量的实际应用题中，人数必须是自然数，在解题中不要忽视这些隐含的制约条件V举一反三触类旁通考向1 简单的线性规划问题【例1】【2018浙江省高三模拟】若满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C D【答案】B【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值【例2】【2018天津滨海新区七所重点学校高三毕业班联考】若实数，满足
11、，则的最小值是（ ）A B C D【答案】C【名师点睛】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可得结果【例3】【2018天津市9校联考高三联考】若实数，满足，则的最小值 （ ）A1 B3 C4 D9【答案】B【解析】作出可行域如图所示：作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小，最大为3，故选：B【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围【跟踪练习】1【2018甘肃张掖高三备考质量检测
12、第三次诊断】设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A2 B8 C28 D22【答案】C将目标函数变形为，作直线将其平移至时，纵截距最大，最大由 得 所以的最大值，故选C2【2018衡水金卷信息卷（二）】已知变量满足不等式组，则目标函数的最大值是 （ ）A-3 B-5 C D5【答案】B【解析】作出不等式所表示的平面区域，由图可以看出，当直线经过可行域上的点时，取得最大值由得点的坐标为，函数的最大值为，故选3【2018陕西省高三教学质量检测（二）】在由不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A B C D【答案】D4【2018上海市
13、徐汇区高三下学期学习能力诊断（二模）】已知实数满足 则目标函数的最小值为_【答案】【名师点睛】此题主要考查简单线性规划问题中的最优解，以及数形结合法在解决实际问题中的应用等有关方面的知识与基本技能，属于中低档题型，也是常考题此类问题一般流程是：首先根据约束条件画出可行域区域图；第二步是将目标函数进行转化，常转化为直线的斜截式；第三步，通过平移该直线（在区域范围内），找到直线在轴上截距的最值从而得到问题的最优解5【2018河北保定高三一模】已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为_【答案】9【解析】作可行域，则直线过点A(2，2)时取最小值，此时最优解为(2，2)，即当且仅当时取等
14、号，即的最小值为9【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误考向2 线性规划应用题【例4】【2018广东汕头市高三三模】某中学计划派出名女生，名男生去参加某项活动，若实数，满足约束条件则该中学最多派_【答案】【名师点睛】本题考查简单的线性规划应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值【例5】【2016高考新课标1】某高科技企
