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1、第61题三视图与直观图问题I题源探究黄金母题【例1】如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积与体积（尺寸如图，单位：，取3.14，结果精确到，可用计算器）【解析】由奖杯的三视图知奖杯的上部是直径为4的球，中部是一个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8、4的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20、8的矩形，另两个侧面是边长分别为20、4的矩形，下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别10、8的矩形，下底面是边长分别20、16的矩形，直棱台的高为2，所以它的表面各和体积分别为1193、1067【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图 想象出空间几何体的形状并画出其直观
2、图,具体方法为； II考场精彩真题回放【例2】【2017课标II文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.【例3】【2016全国新课标卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为ABC90D81【答案】B【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B【例4】2016年全国1卷理如图，某几何体的三视图是
3、三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（）ABCD【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是，故选A【例5】【2016全国新课标卷】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D32【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C【例6】【2016天津高考】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）【答案】B【解析】由题意得截去的是长方体
4、前右上方顶点，故选B【例7】【2017北京文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30（C）20 （D）10【答案】D【解析】该几何体是三棱锥，如图：图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.【例8】【2017山东文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .【答案】【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以.精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第29页习题1.3B组第1题【母题评析】本题根据球、柱、台组合的组合体的三视图求其体积与表面积，这是题型在高考中较
5、为多见，因此在备考中必须引起重视【思路方法】根据三视图求相应的几何体的体积与表面积通常分两个步骤完成：（1）根据三视图确定出几何体的直观图； (2)三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出相关数据【命题意图】本类题通常主要考查识图能力与空间想象能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档，往往与柱、锥、台、球的体积或表面积计算相联系.【难点中心】根据三视图求几何体的体积与表面积其难点主要是如何根据三视图还原出几何体的直观图III理论基础解题原理考点一三视图的基本概念主视图光线从几何体的前面向后面正投影所得到
6、的投影图叫做几何体的正视图，反映了几何体的左右、上下的位置关系.俯视图光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图叫做几何体侧视图反映了几何体的左右、前后的位置关系.左视图光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图叫做几何体的俯视图反映了几何体的前后、上下的位置关系.考点二棱柱、棱锥、棱台的三视图棱柱、棱锥、棱台通常情况下，正视图分别表现为矩形、三角形、梯形，侧视图分别表现为矩形、三角形、梯形，俯视图表现为多边形考点二圆柱、圆锥、圆台、球的三视图1圆柱：正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆.特征：两矩形线框对应一圆形线框.下图圆柱主视图左视图俯视图2圆锥：正视图和侧视图都是三角形，俯视图是
7、圆和圆心.特征：两三角形线框对应一圆形线框.如下图俯视图主视图左视图圆锥3、圆台：正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆.特征：两梯形线框对应一圆形线框（两同心圆）.如下图 圆台主视图俯视图左视图4球体：正视图、侧视图、俯视图均为圆考点三空间几何体的表面积1棱柱、棱锥、棱台的表面积：计算表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解特别地，棱长为a的正方体的表面积，长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积2圆柱、圆锥、圆台的表面积：计算表面积时分为侧面积与底面积两部分，其侧面积可以利用侧面展开图得到，其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长
8、；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长3球的表面积：（为球的半径）考点四空间几何体的体积1柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积和高确定，即特别地，底面半径是，高是的圆柱的体积是根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的2锥体的体积：锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是和高的积，即 特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是3台体的体积：台体（棱台、圆台）的体积由上底面积、下底面积、高是确定， 即特别地，上、下底半径分别是，高是的圆台的体积是4球的体积：（为球的半径）IV题型攻略深度挖掘【考试方向
9、】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档，往往与几何体的表面积与体积联系在一起【技能方法】1简单组合体的三视图画法（1）确定主视、侧视、俯视的方向（2）分解简单组合体，清楚由哪几个基本几何体生成的，特别是它们的交线位置（3）画出的三视图要检验是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征2由三视图还原实物图（1）根据主视图和侧视图确定实物前后与左右侧面的图形形状；（2）根据俯视图确定底面的形状；（3）根据三视图中交线的虚实确定实物体的凹凸【易错指导】（1）在三视图中不区分虚线与实线，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓
10、线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出；（2）对于根据组合体三视图还原时，可能分析不清组合体是采用什么形式组合的而不能正确还原；V举一反三触类旁通考向1三视图的识别【例1】【2018大连联考】如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【例2】【2013年新课标卷】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中画出三棱锥，如图所示，由已知可知三棱锥 为题中所描叙的四面体，而
11、其在平面上的投影为正方形，故选A【跟踪练习】1. 【2014江西高文】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）左（侧）视主（正）视俯视ABCD【答案】B2.【2017届山东师大附中一模】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A B C D【答案】A【解析】由直观图可知：其正视图与侧视图完全相同，恰为圆柱与轴垂直的
12、截面，即这两个视图只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线（实线），故选A考向2根据三视图求几何体的表面积【例1】【2014高考安徽文】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+ B.18+ C.21 D.18【答案】A【例2】【2017湖南师大附中上学摸底】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A BCD【答案】C【解析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个球的表面积、圆锥的侧面积的和圆柱的侧面积为，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以几何体的表面积为【点评】由几何体的三视图求几何体的表面积
13、，通常情况下须先将三视图转化为其几何体的直观图，然后根据相关的表面积公式从三视图中提取相关数据，再代公式进行计算【跟踪练习】1.【2017山西五校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【答案】 2【2015新课标全国高考】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2 C4 D8【答案】B【解析】由题意知，2r2r2r2rr2r24r24r25r21620，解得r2. 故选B考向3根据三视图求几何体的体积【例1】【2018郑州一模】已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积为（）ABCD【答案】B【点评】由几何体的三视图求几何体的体积，通常情况下须先将三视图转化为其几何体的直观图，然后根据相关的体积公式从三视图中提取相关数据，再代公式进行计算对于组合体三视图问题相对较困难，还原几何时注意分析组合的形式，即明确是左右组合型、前后组合型、上下组合型、内外挖空型、边角截取型等【例2】【2018吉林长春一模】九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A
