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1、第58题 非线性规划问题I题源探究黄金母题【例1】若实数满足，则的最小值是 【答案】【解析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，故当时，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当时，；当时，可行域为大的弓形内部，目标函数，同理可知当时，综上所述：精彩解读【试题来源】2015年浙江高考理数第14题【母题评析】本题考查了线性规划的运用；分类讨论的数学思想；直线与圆的位置关系【思路方法】解决此类问题的关键是将线性规划解决问题的思想迁移到非线性规划问题中II考场精彩真题回放【例2】【2016高考江苏卷】已知实数满足，则的取值范围是 【答案】【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点
2、距离平方为最大值，为，因此取值范围为【命题意图】本题考查非线性规划的应用【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力【难点中心】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围III理论基础解题原理常见代数式的几何意义（1）表
3、示点与原点之间的距离；（2）表示点与点之间的距离；（3）表示点与原点连线的斜率；（4）表示点与点连线的斜率IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等【技能方法】非线性规划问题常利用目标函数或可行域的几何意义求解V举一反三触类旁通非线性规划主要有三大题型：平方型、分式型和其他类型（绝对值型）考向1 平方型的非线性规划问题【例1】【2018衡水金卷（五）】若点满足，则的最小值为（ ）A B C D【答案】A【例2】【2018贵州凯里一中高三下学期黄金卷第三套】若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）A B2 C D4【答案】B【解析】作出可行
4、域如图所示，设，则表示可行域内的点与原点的距离的平方由图知，所以故选：【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围【例3】【2018陕西咸阳市二模】已知实数，满足，若，则的最小值为（ ）A B C D【答案】C【名师点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义【跟踪练习】1【2018湖南张家界高三三模】已
5、知变量，满足，若方程有解，则实数的最小值为（ ）A B C D【答案】B【名师点睛】此题主要考查简单线性规划问题，以及点到直线距离公式的应用、数形结合法的应用等方面知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题型解决此类问题中主要有两个关键环节，一是根据约束条件作出可行域图；二是善于将目标函数进行转化，一般可从斜率、两点间的距离、点到直线的距离等方向去考虑，寻找问题的突破口2【2018河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】设满足约束条件，则的最小值是_【答案】3【2018衡水金卷信息卷（一）】已知在关于的不等式组，（其中）所表示的平面区域内，存在点，满足，则实数的取值范围是_【答案】【解析
6、】由条件可得可行域，如图所示，由，得因为直线与直线垂直，所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，即，解得，当时恒存在点满足题意，故实数的取值范围【名师点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得考向2 分式型的非线性规划问题【例4】【2018江西新余市高三二模】已知、满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A B C D【答案】B【名师点睛】利用线性规划
7、求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值；注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形【例5】【2018衡水金卷高三信息卷 （五）】若实数，满足，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【例6】【2018衡水金卷调研卷（三）】已知点，若实数满足则目标函数的取值范围是（ ）A B C D【解析】作出可行域如图所示，目标函数，其中的几何意义为可行域上的动点与定点M连线的斜率
8、，设为，其最小值为，其最大值为，即，故，故选D【跟踪练习】1【2018陕西咸阳市2018届高三一模】点为不等式组，所表示的平面区域上的动点，则 最大值为（ ）A B C D【答案】A2【2018湖北黄冈市高一下学期期末考试】已知实数x，y满足，则的取值范围是 ( )A1， B，C，1) D，)【答案】C【解析】画出可行域如下图，目标函数几何意义为可行域上一动点P与定点斜率的范围为最小值，另一临界点为过点A与直线x-y=0平行即k=1，所以范围为，1)【名师点睛】目标函数几何意义为动点与定点A的斜率的范围，一是注意要化成相减的形式，二是注意分母为y，分子为x3【2018湖南长沙雅礼中学、河南省实
9、验中学高三联考】若变量，满足不等式组则的最大值为_【答案】1【名师点睛】本题考查线性规划的应用首先要正确表示可行域，特别是区域的判断，一般利用特殊点法然后要掌握线性最值的求解，一般是直线平移，本题考查的几何性质是两点斜率，要掌握常见的几种几何性质4【2018河北衡水中学高三十五模】已知实数满足约束条件则的最大值为_【答案】【名师点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端
10、点或边界上取得考向3 其它类型的非线性规划问题【例7】【2018衡水金卷高三信息卷 （二）】已知满足不等式组则的最小值为（ ）A2 B C D1【答案】D【名师点睛】本题的关键是找到的几何意义，要找到的几何意义，必须变形，所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了【例8】【2018河北邯郸高三一模】记不等式组，表示的平面区域为，点的坐标为有下面四个命题：，的最小值为6；：，；：，的最大值为6；：，其中的真命题是（ ）A， B， C， D，【答案】C【例9】【2018衡水金卷高三信息卷 （四）】已知函数的导函数在区间内单调递减，且实数，满足不等式，则的
11、取值范围为（ ）A B C D【答案】C【解析】由可得因为a0，所以由在区间内单调递减，可知又实数a，b满足不等式，故实数满足不等式组在直角坐标系中作出上述不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，又的几何意义是表示平面区域内的动点Q(a，b)与定点P(2，3)连线的斜率，数形结合易知最大，最小，由方程组所以的取值范围为，故选C【名师点睛】本题的难点在于能够数形结合，看到不等式要联想到二元一次不等式对应的平面区域，看到不等式要联想到二次不等式对应的曲线区域如果这个地方不能想到数形结合，本题突破就不容易数学的观察想象是数学能力的一个重要部分，在平时的学习中，要有意识的培养和运用【例10】【2
12、018广东惠州市高三4月模拟】若变量，满足约束条件，则点到点的最小距离为 【答案】【名师点睛】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如【例11】【2017浙江杭州二中高三5月仿真考】已知实数满足，且，则的取值范围是_【答案】【解析】，令，则，由图可知，当时，当过时，所以原式的取值范围是【例1
13、2】【2018齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺】已知不等式组表示的区域为，若存在点，使得，则实数的取值范围是_【答案】【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离【跟踪练习】1【2018山西榆社中学高三诊断性模拟】设满足约束条件，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】A2【2018河南六市高三一联（一模）】已知动点满足，则的最
14、小值是 【答案】【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围3【河北廊坊市八中高三模拟】已知函数的两个极值点分别为，且，若存在点在函数的图象上，则实数的取值范围是_【答案】 (或)【解析】，因为，所以，故，不等式表示的平面区域如图所示因为存在在的图像上，故在函数的图像的下方，而，所以，解得填【名师点睛】函数极值点的范围体现了导函数在某些点处函数值的正负，从而得到一个平面区域，利用图像和平面区域的关系得到所求参数的取值范围4【2018湖南G10教育联盟高三4月联考】已知约束条件表示的可
