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1、第12题 函数的周期性与对称性I题源探究黄金母题【例1】容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质解释上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题【解析】由周期函数的性质知，T=2所以对称中心为，正弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知其对称轴方程纬对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA=sin(A+) 所以对称中心为，余弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知 X=K(K为整数) 正切函数同样有类似的性质，对
2、称中心为(k/2，0)(K为整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第11题【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式【例2】已知函数yf(x)的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数yf(x1)的图象；（3）你能写出函数yf(x)的解析式吗？【解析】（1）从图象得知，x从0变化到1，函数经历个周
3、期，即，故函数的周期T=2；（2）函数y=f（x+1）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f（x）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f（x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：（3） 当-1x0时，f（x）=-x，当0x1时，f（x）=x；当2n-1x2n时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x，当2nx2n+1时，f（x）=f（x-2n）=x-2n，（n为整数）。【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第3题【母题评析】本题以yf(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求
4、解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”II考场精彩真题回放【例1】【2018高考江苏9】函数满足，且在区间上，则的值为 【答案】【解析】试题分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果试题解析：由得函数的周期为4，因此【例2】【2018高考全国II文12】已知是定义域为的奇函数，满足若，则（ ）AB0C2D50【答案】C【解析】试题分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及
5、对应函数值求结果试题解析：是定义域为的奇函数，且，因此，从而，故选C【例3】【2018高考全国III文7】下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（ ）A BCD【答案】B【解析】试题分析：确定函数过定点关于对称点，代入选项验证即可试题解析：函数过定点，关于对称的点还是，只有过此点，故选B【例4】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f (x+4)=f(x-2)若当时，则f(919)= 【答案】【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，是周期函数，且，所以【例5】【2017江苏高考14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8【解
6、析】解法一：由于则需考虑的情况，在此范围内，时，设，且互质若，则由，可设，且互质因此，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8解法二：是有理数集，自变量，所对应的函数值都为有理数，且在函数上对应的空心点函数值也为有理数，令等于这些函数值与空心点函数值所求得在区间内皆为无理数，故不能与函数上所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案为8 个【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考
7、常考知识内容本题具备一定难度解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点常与函数的图象及其他性质交汇命题题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围备考时应加强对这部分内容的训练【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、
8、数形结合的能力这就要求学生对函数的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用 分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值III理论基础解题原理考点一 函数的周期性1周期性：对任意的，都有，则叫做函数的周期若，周期；若（相反），周期；若()（互倒），周期； 若()（反倒），周期；若，周期； 若，周期考点二 函数的称性1一个函数的对称关系：若函数满足，则关于直线对称，若函数满足，则关于直线对称2两个函数的对称关系
9、：函数与函数的图像关于直线对称；（巧记：相等求）函数与函数的图像关于点对称；（巧记：相等求）考点三 周期与对称的关系：1若的图像有两条对称轴和()，则为周期函数，为一个周期（告知周期和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴）2若的图像有两个对称中心和 ()，则为周期函数，为一个周期（告知周期和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心）3若的图像有一条对称轴和一个对称中心 ()，则为周期函数，为一个周期考点四、如何计算一般形式的周期和对称：若()，则；（巧记：消去）若，则的图像关于直线对称；（巧记：消去，相加除2）若，则的图像关于点对称；（巧记：消去，相加除2）若，则的图像关于点对称（巧记
10、：消去，相加除2，除2）IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点常与函数的图象及其他性质交汇命题题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围备考时应加强对这部分内容的训练【技能方法】解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法函数对称性、周期性的考察，往往以三角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解
11、析式上设置障碍，要求先对解析式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数解析式化为单一函数【易错指导】（1）如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是V举一反三触类旁通考向1 函数周期性【例1】【2018江苏常州横林中学月考】定义在上的函数满足: ，当时， ，则=_【答案】 【例2】【2018广东东莞模拟】已知函数满足，且时，则（ ）A 0 B 1 C D 【答案】D【解析】试题分析：先根据得函数周期，再根据周期求试题解析：因为，所以 ，故选D.【名师点睛】函数对称性代数表示（1）函数为奇函数
12、，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；（2）函数关于点对称，函数关于直线对称；（3）函数周期为T,则。【例3】【2018广东汕头5月冲刺】已知定义域为的奇函数，当时，满足，则( )A B C -2 D 0【答案】B 则， 故选B.【名师点睛】本题主要考查归纳推理、函数的奇偶性、周期性的应用，属于难题. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶
13、函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【跟踪练习】1x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为( )A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数【答案】D【解析】由图象可知选D 2设f(x)是以2为周期的函数，且当x1，3)时，f(x)x2，则f(1)_【答案】1 3设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 【答案】1【解析】考向2 周期性与奇偶性相结
14、合【例4】【2018江西新余模拟】已知偶函数满足且当时,关于的不等式上有且只有200个整数解,则实数的取值范围为( )A B C D 【答案】D f（x）是偶函数，f（x+4）=f（4x）=f（x4），f（x）的周期为8，f（x）是偶函数，且不等式f2（x）+af（x）0在200，200上有且只有200个整数解，不等式在（0，200）内有100个整数解，f（x）在（0，200）内有25个周期，f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解，（1）若a0，由f2（x）+af（x）0，可得f（x）0或f（x）a，显然f（x）0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意；（2）若a0，由f2（x）+af（x）0，可得f（x）0或f（x）a，显然f（x）0在区间（0，8）上无解，f（x）a在（0，8）上有4个整数解，f（x）在（0，8）上关于直线x=4对称，f（x）在（0，4）上有2个整数解，f（1）=ln2，f（2）=ln2，f（3）=，f（x）a在（0，4）上的整数解为x=1，x=2aln2，解得ln2a，故选D。【名师点睛】（1）
