《高考专题第52题 数列与其他知识的交汇数列与不等式-2018精品之高中数学（理）黄金100题---精校解析Word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考专题第52题 数列与其他知识的交汇数列与不等式-2018精品之高中数学（理）黄金100题---精校解析Word版（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第52题 数列与其他知识的交汇（1）数列与不等式I题源探究黄金母题【例1】在等差数列中，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ）A 11 B 12 C 13 D 14【答案】A【解析】数列为等差数列，若，则，可得，则当时，的最大值为，故选精彩解读【试题来源】2018安徽宿州届高三上学期第一次教学质量检测【母题评析】本题考查等差数列数列前项和的最值，考查考生的分析问题解决问题以及基本计算能力的能力【思路方法】不等式法解决等差数列前n项和的最值：（1）若等差数列的首项，公差，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足（2）若等差数列的首项，公差，则等差数列是递增数列，负数项有
2、限，前n项和有最小值，且满足II考场精彩真题回放【例2】【2017高考浙江22】已知数列满足：证明：当时，（）；（）；（）【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）由数学归纳法证明；（）由（）得，构造函数，由函数单调性可证；（）由，得，递推可得试题解析：（）用数学归纳法证明：当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故 因此，所以，因此（）由得记函数，函数在上单调递增，所以，因此，（）因为，所以得，故，【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；
3、（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明【命题意图】本题将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想本题能较好的考查考生分析问题解决问题以及转化与化归能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】与数列中的项相关的不等式问题：此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形；在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而
4、完成证明III理论基础解题原理数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明解决数列
5、和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较常见的放缩变形：（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子此外还可以构造放缩程度更小的，如：（2），从而有：注：对于还可放缩为：（3）分子分母同加常数：此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再
6、验证不等关系（4）可推广为：同类放缩常见的有：（1）或；（2）；（3）或；（4）；或（平方型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型）；（5）或、（指数型可放缩为等比模型）；（6）；（7）；（8）（奇偶型放缩为可求积）补充：一般地，形如或(这里)的数列，在证明（为常数）时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题，若以选择题或填空题的形式出现，主要考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇，属容易题；若为解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较
7、法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大【技能方法】常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：形如（为常数）；形如；形如；形如（为常数）依据不等式的性质：（1）不等式的传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可）（2）等量加不等量为不等量：若，则，此性质可推广到多项求和：若，则：（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数常用的放缩手段：增加（或减少）某些项；增
8、大分子（或减小分母）；增大（或减小）被开方数；利用二项式定理；利用基本不等式；利用函数的单调性常用的放缩技巧：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）在放缩时，对通项
9、公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不
10、等式的常数入手，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧
11、为，另一侧为求和的结果，进而完成证明【易错指导】数列中与的关系的运用一定要注意题目的条件，有时变形为与的关系，也有时变形为与的关系使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的V举一反三触类旁通考向1 最值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值【例1】【2018辽宁葫芦岛第六高级中学高三上学期第二次阶段（期中）】已
12、知数列的前项和且，对一切正整数都成立，记的前项和为，则数列中的最大值为（ ）A B C D 【答案】A当为奇数时，随的增大而增大，所以 当为偶数时，随的增大而减小，所以 综上，当时，总有，故选A【名师点睛】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据的奇偶判断的单调性是解题的关键【例2】【2018福建福州市闽侯第六中学高三上学期期中考试】若数列满足：且，数列满足，则数列的最大项为第_项【答案】6【解析】由，且，得，则，累加得， ，由，得，即，数列的最大项为第项，故答案为【名师点睛】本题主要考查已知数列的递推公式
13、求通项以及数列最大项问题，属于难题题由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列）；累乘法（相邻两项的积为特殊数列）；（3）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式【例3】设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项与公差的不等式，然后利用此不等关系确定公差的范围，由此可确定的最大值【点评】本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用【例4】【2018安徽滁
14、州高三上学期期末考试】已知数列是递增的等差数列，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求满足的最小的的值【解析】（1）设的公差为（），由条件得，【名师点睛】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差数列的特征来求【跟踪练习】1【2018湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校联考】设，令，若，则数列的前项和为，当时，的最小整数值为（ ）A 2018 B 2019 C 2020 D 2021【答案】B2【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为_【答案】3【2018天津市耀华中学高三12月月考】已知单调递增的等比数列满足，且是与的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若，求及使成立的最小正整数的值（2）， ，设，则，得 ，要使成立，即，即，且是单调递增函数，满足条件的的最小值为5考向2 恒成立问题求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得 【例5】【2018河南省豫南豫北联考二】数列满足，若对，都有成立，则最小
