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1、第八章 非线性控制系统分析,8- 非线性系统概述 8- 常见非线性环节及其对系统运动的影响 8- 相平面法 8- 描述函数法,本章主要内容 非线性系统的基本概念、常见的几种非线性环节的特点及其对系统的影响，如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同时简要介绍了相平面法以及改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用。,本章重点 正确理解非线性系统与线性系统的差异，掌握利用描述函数法对非线性系统进行分析。,第一节 非线性控制系统概述,控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可通过在工作点附近线性化来处理，但当系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化的方法处理。非线性系统与线性系统有本质的差别
2、，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件与输入信号有关。,第一节 非线性控制系统概述,非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。,非线性系统的瞬态响应有一种特殊运动自持振荡，它是一种稳定的周期运动，振荡频率和幅值由系统结构和参数确定。非线性系统的分析方法有相平面法和描述函数法，相平面法是一种图解分析法，描述函数法是一种近似分析法。,几种典型的非线性特性,非线性系统的特点 稳定性分析复杂 可能存在自激振荡现象 频率响应发生畸变,第二节 常见非线性特性及其对系统运动的影响,常见
3、的非线性元件及特性 饱和特性,可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。 饱和特性的影响 使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降,死区（不灵敏区）特性 死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。,死区（不灵敏区）特性的影响 增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。,回环（间隙）特性 传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性,回环（间隙）特性的影响 降低了定位精度，增大了系统的静差。 使系统动态响应
4、的振荡加剧，稳定性变坏。,继电器特性 当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。,继电器特性的影响 理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。 可利用继电控制实现快速跟踪。 带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。,相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。 这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相
5、平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。,第三节 相平面法,因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力，但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到维状态空间以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。,考察二阶非线性时不变微分方程:,1 相平面的基本概念,为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:,微分方程组(8-2)有两个变量: x可以看作广义位移， 可以看作广义速度。 一般，直接对微分方程（8-1）求解，可以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t)与t的关系
6、图时间响应曲线。,如果我们对微分方程组(8-2)求解，可以得到解x(t)和 ,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，当 t 变化时，这一点在 平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。,例8-1 考虑二阶系统： 将它写成微分方程组：,两式相除得到：,即：,两边积分得:,在相平面上绘出的相轨迹如图8-1(a)所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨
7、迹场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图（b）。,图8-1 例8-1的相轨迹与时间响应,2 相轨迹图,绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类： 第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的,素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。 第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。 第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹
8、图。,相轨迹的基本特征有：,1）奇点,对于二阶系统，相平面上满足 且 的点叫做奇点，记作 。对照方程（8-2）知， 奇点座标 是代数方程 的解，显然奇点一定在x轴上。,对于二阶系统， 和 就是速度和加速度均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点，稍后将讨论。,2）相轨迹切线斜率,由方程（8-2）知，相轨迹上任一点 的切线斜率为： 某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。,3）相轨迹图形特征,如果微分方程（8-2）满足解的存在性和唯一性条件，那么，相轨迹（场
9、）图一定有如下基本特征： 1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）； 2)相轨迹必垂直通过x轴 3)轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的相轨迹从右向左运动。 4)相平面图往往是关于坐标轴或原点对称的。绘制时只画出一部分，另一部分可根据对称性添补上。,例8-2 作出下列二阶系统的相轨迹,将它写成微分方程组：,容易求出奇点为（0，0）。,图8-2 例8-2的根轨迹,ABCDO对应初始条件为 EFO对应初始条件为。,从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的运动过程是衰减振荡的。,第四
10、节 描述函数法,描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的, 它是线性系统频率法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱，描述函数法的优点是能用于高阶系统。,1 描述函数定义,为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数, 设非线性环节y=f (x) 的输入为正弦函数：,式中，X是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 分解为富氏级数：,式中,如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0，这时输出的基波分量是：,如果函数 y=f(x) 是已知的，X是一个待定常数，那么上面式子求出的 只与X有关，记作
11、。描述函数定义为输出的基波分量与输入正弦函数的复数比：,显然，描述函数是X的函数，描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么：,下面用几个例子说明描述函数是如何计算出来的。,1）死区特性 考虑图 8-3 （a）所示死区特性，当输入为正弦函数 时，输出 如图 8-3（b）所示，因为图 8-3 （a）的死区特性是单值奇对称的，所以 ，,2 描述函数的计算,并且,注意到,所以,所以,图8-3 求死区特性的描述函数,2）继电特性,图8-4 求继电特性的描述函数,考虑图 8- 4（a）带滞环的继电特性，当输入为 时，输
12、出y(t)如图 8-4（b）所示，并且,3）一般非线性,描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:,因为它是单值、奇对称的， ，先求出y(t)：,所以,概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入x(t)=Xsint和非线性特性y=f(x)求出输出y(t) ，然后由积分式求出 ，求出N(X) 。主要工作量和技巧在积分。 此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出 ，则可换算求出描述函数。,图8-5 描述函
13、数表示的非线性系统,考虑图8-5所示的非线性系统，假设线性动态部分具有良好的低通特性，那么静态非线性特性可以用描述函数N(X)来表示。为了引入频率特性分析法，我们还假设G(X)是最小相位环节。,3 非线性系统的描述函数分析,1）闭环系统稳定性,前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到图8-5 所示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为：,特征方程为,为了类比，假设静态环节退化为线性环节y=kx，即N(X)=k（常数）。因为G(s)是最小相位环节，根据线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于在复平面上G(j)曲线是否包围实轴上的1k点。,现在将上
14、述结论推广到N(X)为非线性函数的情况。因为X连续变化时N(X)是复平面上的一根曲线，所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(j)是否包围1N(X)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线G(j)不包围1N(X)曲线，那么闭环系统稳定；如果G(j)曲线包围1N(X)曲线，那么闭环系统不稳定；如果曲线G(j)与曲线1N(X)相交，那么闭环系统出现自振荡（极限环）。为了方便，我们将曲线1N(X)称为负倒描述函数曲线。,2）极限环的稳定性 正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数来分析。参见图8-6,8-6 极限环的稳定性,图中A、B两点都出现极限环，先看A点：如
15、果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到D，D点不被G(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到C，C点被G(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应逐渐增大，工作点移到、B；可见A点属不稳定极限环。,再看B点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到F，F点被 曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应增大，增大后又回到B点；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到E，E点不被 曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应减小，减小后又回到B点；可见B点属稳定极限环。,小 结,本章介绍了非线性系统分析的基础知识，主要包括相平面法和描述函数法。本章的内容还揭示了非线性系统的一些特殊现象，诸如：非线性系统存在全局稳定和局部稳定问题，非线性系统的稳定性与初始条件有关，非线性系统的振型与初始条件和输入幅值都有关，非线性系统的稳定极限环等，这些在线性系统中是不会出现的。,
