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1、刚体的定轴转动,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动,角坐标,回顾,刚体绕定轴作匀变速转动,力 对轴的力矩 为,刚体定轴转动定律,转动惯量 J,平行轴定理,影响 J 的三个要素: 总质量 、质量分布 、转轴的位置,圆环绕中心轴旋转的转动惯量,定轴转动定律的应用-滑轮问题三步曲：,1、牛二定律；2、转动定律；3、角量与线量关系,求：此刚体系统绕O轴转动的转动惯量；水平位置时杆的角加速度；通过铅垂位置时杆的角速度。,解 (1) 系统绕O轴转动的转动惯量,(2) 取逆时针方向为正, 水平位置时杆的角加速度由转动定律, 有,(3) 铅垂位置时杆的角速度,1、力矩的功,4.3 转动中的功和能,刚体在外力
2、 作用下转过一微小角位移 。力的作用点的位移为,在 上的元功为：,刚体在外力矩 M 作用下转过一有限角位移 时，力矩的总功,2、刚体的转动动能 转动动能定理,刚体中任意一质元的动能：,刚体的转动动能：,即：合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,定轴转动的动能定理,合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,把质点系动能定理应用于刚体,质点系动能定理,对刚体，因为 ， 换成外力矩的功，平动动能换成转动动能, 也得到刚体定轴转动的动能定理,3、刚体的重力势能,刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。,任一质元的重力势能,刚体的重力势能,设刚体的质心相对零势能位置的高度为,则
3、,即：刚体的重力势能等于刚体的质量集中在质心处的质点的重力势能,例1 质量为3m 、长为 2l 的均质细杆，水平转轴在 o 点，两端各固定质量分别为2m和m的小球。系统从静止开始由水平位置绕o点转动。求: (1) 系统对o 轴的转动惯量； (2) 水平位置时系统的角加速度;（3）转到垂直位置时的角速度。,解：,(1)系统对o轴的转动惯量,(2)水平位置时系统的角加速度,由转动定律,所以,（3）通过垂直位置时的角速度, 有三种解法,(解1) 用转动定律,任意位置的运动方程,求得,此刚体组+地球系统, 只有重力作功, 机械能守恒,(解2) 用转动动能定理,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量,求得,
4、(解3) 用机械能守恒定律,求得,以静止水平点为零势能点,若用质心的重力势能，如何计算？,质心在哪里？,1、质点的角动量,质点对 O 点的角动量,kg m2s-1,4.4 对定轴的角动量定理 及角动量守恒定律,质点作匀速率圆周运动：,若 作变速率圆周运动；或非圆周运动-怎样理解上式？,2、刚体对定轴的角动量,的方向,刚体看成许多质点组成,任意一质元 对轴的角动量大小为,整个刚体的角动量,3、定轴转动的角动量定理,冲量矩,积分,即：合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量,写成矢量式,4、角动量守恒定律,若刚体受到的合外力矩为零，则系统的角动量守恒。,若,例2,质量为m，半径为R 的均质薄圆盘放在水
5、平桌面上，可绕盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度为 ，盘与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求: (1)圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；(2) 经多长时间圆盘停止转动。,(1) 在r处取一宽度为 dr 的圆环, 如图所示. 其质量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分别为,解:,圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为,(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法,解1 用转动定律,求得:,解2 用角动量定理,碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为,例3 质量为m1, 长为l 的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，可绕通过其端点o并与桌面垂直的固定光滑轴转动. 今有一水平运动的质量为m2的小滑块,从
6、侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰, 设碰撞时间极短. 已知小滑块在碰撞前后的速度大小分别为v1和v2, 方向如图所示。求碰后细棒开始转动到停止转动所需的时间。,解: 设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量守恒定律, 有,又设棒开始转动到停止转动所需时间为t , 由角动量定理,联立 解得,例4 质量为 m 的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度 v0 绕管心作半径为 r0 的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径变为 r1 。求小球的
7、速度以及外力所作的功。,解：,角动量守恒,由动能定理,例5 一长为 l ，质量为 M 的杆垂直悬挂, 杆可绕支点O自由转动。一质量为 m ，速度为 v 的子弹射入距支点为 a 的棒内,若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少?,解：,子弹与杆碰撞的过程角动量守恒,子弹连同杆上摆的过程机械能守恒,以哪点作为势能零点比较方便？,例6 质量为 M ，半径为 R 的转台，可绕中心轴转动。设质量为 m 的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？,解：,角动量守恒：,问题1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑
8、铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的,（A）机械能守恒 , 角动量守恒; （B）机械能守恒 , 角动量不守恒, （C）机械能不守恒 , 角动量守恒; （D）机械能不守恒 , 角动量不守恒.,问题讨论,问题2、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的,1、力矩的功,2、刚体的转动动能,3、刚体定轴转动的动能定理,4、刚体的角动量,5、刚体定轴转动的角动量定理,角动量守恒,小结,绕自身对称轴高速旋转的物体,在外力矩的作用下,其对称轴绕一固定轴的回转运动称为旋进(进动)。,飞轮对自身轴也即对o点的角动量,飞轮受重力矩,使 方向改变,而大小不变.,因为,自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转,刚体绕定轴转动,方向与 方向相同,进动,平衡锤 反方向力矩,质点力学、刚体力学有关公式对照表,
