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1、椭圆的焦半径,蔡永霞 2006.12.10,教学目标 1)能推导并掌握椭圆焦半径公式,能应用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题 2)能应用椭圆的焦半径有关知识解决实际应用问题 3)能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参数取植范围问题,P（x0，y0）是椭圆 （ab0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径，求证PF左a+ex0 PF右a-ex0，,例 1,证明:,F1(-C,0),F1(C,0),d1,d2,由题意得d1=x0+,d2,=,-,x0,又:,=,=e,=,=ed1=e(x0+,)=,=ed2=e( - x0)=,a+ex0,a-ex0,(法一),(法二)
2、:利用两点距离公式,焦半径：,1)P（x0，y0）是椭圆 （ab0）上的一点，F1，F2是左、右焦点，则PF1，PF2叫焦半径PF左a+ex0， PF右a-ex0,2)AB过焦点的弦,=2a+e(XA+XB),=2a-e(XA+XB),Rmax=a+c,Rmin=a-c,3)通经:过焦点且与长轴垂直的弦 d d=,(当焦点在y轴上时- ),例2:在椭圆,+,=1求一点P使它到左焦点,距离是到右焦点距离的2倍. 解:设P(x0,y0) 由题意得a=5 c=4 e=,=,a+ex0=5+,x0,=5 -,x0,又,=2,5+ X0,=,2( 5 - X0),X0=,代入,+,=1,得:y0=,所以
3、 P( , ),上三点A、B、C的,横坐标分别XA,XB,、,、,XC,若焦半径,、,例3:椭圆,、,成等差数列, 求证: XA XB XC 成等差,数列.,、,、,证明:当F是左焦点时 有,=a+exA,=a+exB,=a+exc,又 2,=,+,2 (,a+exB),=,(a+exA,) +(a+exc),即: 2XB=XA+XC,所以 XA 、XB、XC 成等差数列,例4:若椭圆的焦半径最大值为16,最小值为4 , 求 椭圆的标准方程 . 解:由已知设椭圆的长轴长2a 短轴长2b 焦距2c 则a-c=4 a+c=16 所以a=10 c=6 b=8 当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,练习
4、1: 已知直线L过椭圆,的左焦点 且与椭,圆交于A、B两点,已知AB中点M横坐标为,求AB的长. 解: (法一) :,X,Y,A,B,M,XA+XB=2X0=1,又a=2 c=1 e =,2a+e( xA+xB ),=4+,(-1),=,(法二)利用弦长公式:,2:已知椭圆,能否在椭圆位于Y 轴,左侧的部分找到一点M,使M到左准线的距离是它到两焦点F1、F2距离的等比中项?并说明理由.,F1,F2,M(x0,y0),N,L,X,Y,解:假设存在满足已 知条件的点M,设M(x0,y0),又 :a=2 e=,又:,=e=,又,. 4(2 +,x0)2=(2+ x0) (2- x0),x0=,又 -2X0,0, 不存在X0即不存在点M(X0 , Y0) 满足已知条件,应用：,1、已知P为椭圆 上的点，且P与两焦点的连线互相垂直，求点P的坐标。,变式：当F1PF2为钝角时，求P的横坐标的取值范围,2、已知椭圆 ，设F1 、F2分别为它的左右焦点，P为椭圆上一点，求 的最小值及F点的坐标。,小结： 1、焦半径的定义。 2、焦半径的公式。 3、焦半径的范围。 4、焦半径的应用。,已知椭圆 （ab0），F1，F2是椭圆的焦点，与左焦点F1对应的准线是l1，若椭圆上存在点P，使PF1、P到l1的距离d 、PF2成等比数列，求椭圆离心率e的取值范围,
